Страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

179 Два велосипедиста одновременно выехали с базы на велотрек, куда им надо прибыть к определённому времени. Первый ехал со скоростью 15 км/ч и успел приехать за 5 мин до назначенного времени. Второй ехал со скоростью 12 км/ч и опоздал на 4 мин. На каком расстоянии от велотрека находится база?

Пусть $S$ – искомое расстояние от базы до велотрека в километрах.

Скорость первого велосипедиста $v_1 = 15$ км/ч. Время, которое он затратил на дорогу, равно $t_1 = S/v_1 = S/15$ часа.

Скорость второго велосипедиста $v_2 = 12$ км/ч. Время, которое он затратил на дорогу, равно $t_2 = S/v_2 = S/12$ часа.

Из условия задачи следует, что первый велосипедист приехал на 5 минут раньше назначенного времени, а второй опоздал на 4 минуты. Это означает, что второй велосипедист был в пути дольше первого на $5 + 4 = 9$ минут.

Переведем эту разницу во времени в часы, чтобы единицы измерения были согласованы (скорость дана в км/ч): $9 \text{ мин} = 9/60 \text{ ч} = 3/20 \text{ ч}$.

Разница во времени в пути между вторым и первым велосипедистами ($t_2 - t_1$) составляет $9/60$ часа. Мы можем составить уравнение, используя выражения для $t_1$ и $t_2$ через расстояние $S$: $t_2 - t_1 = S/12 - S/15$.

Приравняем это выражение к известной нам разнице во времени: $S/12 - S/15 = 9/60$.

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 15 равен 60. $(5 \cdot S)/(12 \cdot 5) - (4 \cdot S)/(15 \cdot 4) = 9/60$
$5S/60 - 4S/60 = 9/60$
$(5S - 4S)/60 = 9/60$
$S/60 = 9/60$.

Из этого уравнения следует, что $S = 9$.

Ответ: 9 км.

180 Коллектив предприятия получил землю для садовых участков. Эту землю решили распределить между сотрудниками поровну, и каждому полагалось по 7 соток. Но выделенную землю удалось увеличить на 20 соток, кроме того, 10 сотрудников отказались от садовых участков, поэтому каждый получил по 10 соток. Сколько земли оказалось в распоряжении предприятия?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это первоначальное количество сотрудников, а $S_1$ — первоначальная площадь земли в сотках.
Согласно исходному плану, каждый сотрудник должен был получить по 7 соток. Следовательно, первоначальная площадь земли выражается формулой:
$S_1 = 7x$

Далее условия изменились. Общая площадь земли была увеличена на 20 соток. Обозначим новую, итоговую, площадь земли как $S_2$. Тогда:
$S_2 = S_1 + 20$
Кроме того, 10 сотрудников отказались от своих участков, значит, количество людей, получивших землю, стало $x - 10$.
В результате каждый из них получил по 10 соток. Это позволяет нам выразить итоговую площадь земли $S_2$ другим способом:
$S_2 = 10(x - 10)$

Теперь у нас есть два выражения для $S_2$. Мы можем приравнять их, предварительно подставив в первое выражение формулу для $S_1$:
$7x + 20 = 10(x - 10)$
Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$ (первоначальное количество сотрудников):
$7x + 20 = 10x - 100$
Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$20 + 100 = 10x - 7x$
$120 = 3x$
$x = \frac{120}{3}$
$x = 40$
Итак, первоначально было 40 сотрудников.

Основной вопрос задачи — сколько земли оказалось в распоряжении предприятия в итоге ($S_2$). Для этого подставим найденное значение $x = 40$ в любую из формул для $S_2$. Возьмем вторую формулу, так как она проще:
$S_2 = 10(x - 10) = 10(40 - 10) = 10 \times 30 = 300$
Таким образом, в распоряжении предприятия оказалось 300 соток земли.

Ответ: 300 соток.

181 Лена набирала на компьютере рукопись книги. Ей надо было набирать по 10 страниц в день, чтобы успеть выполнить работу к сроку. Она же набирала ежедневно на 1 страницу больше, поэтому за 2 дня до срока ей осталось набрать 6 страниц. Сколько страниц было в рукописи?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это общее количество страниц в рукописи, а $d$ — количество дней, которое было запланировано на выполнение всей работы (срок).

Согласно плану, Лена должна была набирать по 10 страниц в день. Таким образом, общее количество страниц можно выразить через плановое количество дней:
$x = 10 \cdot d$

Фактически Лена набирала на 1 страницу больше, то есть ее производительность составляла $10 + 1 = 11$ страниц в день.

В условии сказано, что за 2 дня до срока ей осталось набрать 6 страниц. Это означает, что она работала в течение $d - 2$ дней. За это время она набрала $11 \cdot (d - 2)$ страниц.

Общее количество страниц в рукописи равно количеству уже набранных страниц плюс количество оставшихся страниц. Составим второе уравнение:
$x = 11 \cdot (d - 2) + 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти количество запланированных дней $d$:
$10d = 11(d - 2) + 6$

Решим полученное уравнение:
$10d = 11d - 22 + 6$
$10d = 11d - 16$
$11d - 10d = 16$
$d = 16$

Итак, плановый срок выполнения работы составлял 16 дней.

Теперь, зная $d$, мы можем найти общее количество страниц в рукописи, подставив значение $d$ в первое уравнение:
$x = 10 \cdot d = 10 \cdot 16 = 160$

Таким образом, в рукописи было 160 страниц.

Ответ: 160 страниц.

182 Андрей, развивая выносливость в беге, сначала бежал 40 мин по просёлочной дороге, а затем по лесной тропе. И хотя путь по тропе оказался на 2 км короче, он затратил на него на 5 мин больше, так как уменьшил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние пробежал Андрей?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_1$ (в км/ч) и $S_1$ (в км) – скорость и расстояние, которые Андрей пробежал по просёлочной дороге, а $v_2$ (в км/ч) и $S_2$ (в км) – его скорость и расстояние на лесной тропе.

Из условия задачи известны следующие данные:

• Время бега по просёлочной дороге: $t_1 = 40$ мин.
• Время бега по лесной тропе на 5 мин больше: $t_2 = 40 + 5 = 45$ мин.
• Путь по тропе на 2 км короче: $S_2 = S_1 - 2$ км.
• Скорость на тропе на 4 км/ч меньше: $v_2 = v_1 - 4$ км/ч.

Переведем время из минут в часы, так как скорость дана в км/ч:

$t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$

$t_2 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$

Используем основную формулу расстояния $S = v \cdot t$ для каждого участка пути:

1. Для просёлочной дороги: $S_1 = v_1 \cdot t_1 \Rightarrow S_1 = v_1 \cdot \frac{2}{3}$

2. Для лесной тропы: $S_2 = v_2 \cdot t_2 \Rightarrow S_2 = (v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4}$

Теперь подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в соотношение $S_2 = S_1 - 2$:

$(v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4} = (v_1 \cdot \frac{2}{3}) - 2$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $v_1$. Для удобства умножим обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4):

$12 \cdot (v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4} = 12 \cdot (v_1 \cdot \frac{2}{3}) - 12 \cdot 2$

$9 \cdot (v_1 - 4) = 8 \cdot v_1 - 24$

$9v_1 - 36 = 8v_1 - 24$

$9v_1 - 8v_1 = 36 - 24$

$v_1 = 12$ км/ч.

Теперь, зная скорость на просёлочной дороге, мы можем найти расстояние каждого участка:

Расстояние по просёлочной дороге:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ км.

Расстояние по лесной тропе:

$S_2 = S_1 - 2 = 8 - 2 = 6$ км.

Общее расстояние, которое пробежал Андрей, равно сумме расстояний двух участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 8 + 6 = 14$ км.

Ответ: 14 км.

Решите задачу, взяв за образец пример 3 из текста (183—185).

183 Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего $15 \%$ соли, чтобы получить $12 \%$-ный раствор?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Основной принцип заключается в том, что при добавлении воды масса соли в растворе не изменяется, а изменяется только общая масса раствора и, соответственно, концентрация соли.

1. Находим массу соли в исходном растворе.

Изначально у нас есть 80 г раствора с концентрацией соли 15%. Массовая доля соли ($w_1$) равна 15%, или 0.15 в долях от единицы. Масса исходного раствора ($m_{р1}$) составляет 80 г.Массу соли ($m_{соли}$) можно найти по формуле:

$m_{соли} = m_{р1} \cdot w_1$

Подставим наши значения:

$m_{соли} = 80 \text{ г} \cdot 0.15 = 12 \text{ г}$

Таким образом, в исходном растворе содержится 12 г соли.

2. Находим массу нового раствора.

После добавления воды масса соли остается прежней, то есть 12 г. Концентрация соли в новом растворе ($w_2$) должна стать 12%, или 0.12.Пусть масса нового раствора будет $m_{р2}$. Используя ту же формулу, мы можем найти массу нового раствора:

$w_2 = \frac{m_{соли}}{m_{р2}}$

Отсюда выражаем $m_{р2}$:

$m_{р2} = \frac{m_{соли}}{w_2}$

Подставляем известные значения:

$m_{р2} = \frac{12 \text{ г}}{0.12} = 100 \text{ г}$

Итак, масса конечного раствора должна быть равна 100 г.

3. Находим массу добавленной воды.

Масса добавленной воды ($m_{воды}$) — это разница между массой нового раствора и массой исходного раствора.

$m_{воды} = m_{р2} - m_{р1}$

$m_{воды} = 100 \text{ г} - 80 \text{ г} = 20 \text{ г}$

Следовательно, чтобы получить 12%-ный раствор, необходимо добавить 20 г воды.

Ответ: 20 г.

184 Сколько граммов 25 %-ного сахарного сиропа надо добавить к 200 г воды, чтобы концентрация сахара в полученном растворе была 5 %?

Для решения этой задачи воспользуемся методом составления уравнения, основанного на понятии концентрации раствора. Концентрация (массовая доля) вещества показывает, какая часть от общей массы раствора приходится на это вещество.

Пусть $x$ — это масса 25%-ного сахарного сиропа в граммах, которую нужно добавить.

Масса чистого сахара в этом сиропе составляет 25% от его общей массы, то есть $0.25 \cdot x$ граммов.

Когда мы добавим $x$ граммов сиропа к 200 граммам воды, общая масса полученного раствора станет равной $200 + x$ граммов.

Масса сахара в конечном растворе будет такой же, как и в добавленном сиропе, поскольку в воде сахара нет. Таким образом, масса сахара в конечном растворе равна $0.25x$ граммов.

По условию, концентрация сахара в полученном растворе должна быть равна 5%, что в долях составляет 0.05. Составим уравнение, используя формулу концентрации:
$\text{Концентрация} = \frac{\text{масса растворенного вещества}}{\text{масса всего раствора}}$
$\frac{0.25x}{200 + x} = 0.05$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(200 + x)$:
$0.25x = 0.05 \cdot (200 + x)$
Раскроем скобки в правой части:
$0.25x = 0.05 \cdot 200 + 0.05x$
$0.25x = 10 + 0.05x$
Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону:
$0.25x - 0.05x = 10$
$0.2x = 10$
Найдем $x$:
$x = \frac{10}{0.2}$
$x = 50$

Следовательно, нужно добавить 50 граммов 25%-ного сахарного сиропа.

Ответ: 50 г.

185 Сколько граммов воды надо выпарить из 80 г $6 \%$ -ного раствора соли, чтобы получить раствор, содержащий $10 \%$ соли?

Для решения этой задачи нужно исходить из того, что при выпаривании воды масса соли в растворе не меняется. Решение можно разбить на три этапа.

1. Найдём массу соли в исходном растворе

Масса исходного раствора составляет 80 г, а концентрация соли — 6%. Масса соли ($m_{соли}$) рассчитывается как произведение массы раствора на процентное содержание соли (выраженное в долях от единицы):
$m_{соли} = 80 \text{ г} \times 0.06 = 4.8 \text{ г}$

2. Найдём массу конечного раствора

После выпаривания воды масса соли в растворе останется равной 4.8 г. В новом растворе эта масса соли должна составлять 10% от общей массы. Обозначим массу нового раствора как $m_{раствора2}$. Тогда, исходя из формулы концентрации $w = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}}$, выразим массу нового раствора:
$m_{раствора2} = \frac{m_{соли}}{w_{2}}$
$m_{раствора2} = \frac{4.8 \text{ г}}{0.10} = 48 \text{ г}$

3. Найдём массу выпаренной воды

Масса воды, которую нужно выпарить ($m_{воды}$), — это разница между массой исходного ($m_{раствора1}$) и конечного ($m_{раствора2}$) растворов:
$m_{воды} = m_{раствора1} - m_{раствора2}$
$m_{воды} = 80 \text{ г} - 48 \text{ г} = 32 \text{ г}$

Ответ: необходимо выпарить 32 г воды.

186 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Разберите, как составлено уравнение по условию задачи, и доведите решение до конца: «Сколько граммов 75 %-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15 %-ного раствора этой же кислоты, чтобы получить 50 %-ный раствор?»

Составление уравнения:

1) $x$ г — количество 75 %-ного раствора кислоты, которое надо добавить;

2) $(30 + x)$ г — масса получившегося 50 %-ного раствора кислоты;

3) $0.75x$ г — количество кислоты в $x$ г 75 %-ного раствора;

4) $0.15 \cdot 30$ г — количество кислоты в 30 г 15 %-ного раствора;

5) $0.5(30 + x)$ г — количество кислоты в 50 %-ном растворе.

Уравнение:

кол-во кислоты в 75 %-ном растворе + кол-во кислоты в 15 %-ном растворе = кол-во кислоты в 50 %-ном растворе

$0.75x + 0.15 \cdot 30 = 0.5(30 + x)$

Разбор составления уравнения

Уравнение составлено на основе закона сохранения массы вещества. При смешивании растворов общая масса чистой кислоты в полученном растворе равна сумме масс чистой кислоты в исходных растворах.

Рассмотрим каждый шаг, описанный в условии:

1) $x$ г — это неизвестная масса 75%-ного раствора кислоты, которую нам необходимо найти. Введение этой переменной позволяет составить математическое уравнение для решения задачи.

2) $(30 + x)$ г — это общая масса итогового раствора. Она получается путем сложения масс двух смешиваемых растворов: исходных 30 граммов и добавленных $x$ граммов.

3) $0,75x$ г — это масса чистой кислоты в добавляемом 75%-ном растворе. Чтобы найти массу чистого вещества, нужно общую массу раствора ($x$ г) умножить на его концентрацию, выраженную в долях (75% = 0,75).

4) $0,15 \cdot 30$ г — это масса чистой кислоты в исходном 15%-ном растворе. Аналогично, масса кислоты вычисляется как произведение массы раствора (30 г) на его концентрацию (15% = 0,15).

5) $0,5(30 + x)$ г — это масса чистой кислоты в конечном, 50%-ном растворе. Она равна произведению общей массы полученного раствора ($(30 + x)$ г) на его заданную концентрацию (50% = 0,5).

Приравнивая сумму масс кислоты в исходных растворах (пункты 3 и 4) к массе кислоты в конечном растворе (пункт 5), мы получаем уравнение:

(кол-во кислоты в 75%-ном растворе) + (кол-во кислоты в 15%-ном растворе) = (кол-во кислоты в 50%-ном растворе)

$0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(30 + x)$

Доведение решения до конца

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти $x$.

Исходное уравнение:

$0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(30 + x)$

1. Вычислим произведение в левой части:

$0,75x + 4,5 = 0,5(30 + x)$

2. Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 0,5 на каждый член в скобках:

$0,75x + 4,5 = 0,5 \cdot 30 + 0,5 \cdot x$

$0,75x + 4,5 = 15 + 0,5x$

3. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

$0,75x - 0,5x = 15 - 4,5$

4. Упростим обе части уравнения:

$0,25x = 10,5$

5. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$ (на 0,25):

$x = \frac{10,5}{0,25}$

Чтобы избавиться от дробей, можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{1050}{25} = 42$

Таким образом, для получения 50%-ного раствора необходимо добавить 42 грамма 75%-ного раствора кислоты.

Ответ: 42 г.