Страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

173 Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автобус со скоростью $40 \text{ км/ч}$. Через $4 \text{ ч}$ из $B$ в $A$ выехал автомобиль со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Расстояние от $A$ до $B$ равно $250 \text{ км}$. На каком расстоянии от пункта $A$ автомобиль и автобус встретились?

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем расстояние, которое проехал автобус за 4 часа до выезда автомобиля.

Скорость автобуса $v_{авт} = 40$ км/ч. Он ехал один в течение $t_1 = 4$ ч. За это время он проехал расстояние:

$S_1 = v_{авт} \times t_1 = 40 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

2. Найдем расстояние между автобусом и автомобилем в момент выезда автомобиля.

Общее расстояние между пунктами А и В равно $S = 250$ км. К моменту выезда автомобиля автобус уже отъехал от пункта А на 160 км. Таким образом, расстояние между ними стало:

$S_2 = S - S_1 = 250 \text{ км} - 160 \text{ км} = 90 \text{ км}$

3. Вычислим скорость сближения автобуса и автомобиля.

Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Скорость автомобиля $v_{автм} = 60$ км/ч.

$v_{сбл} = v_{авт} + v_{автм} = 40 \text{ км/ч} + 60 \text{ км/ч} = 100 \text{ км/ч}$

4. Найдем время, через которое они встретятся после выезда автомобиля.

Это время можно найти, разделив расстояние между ними на скорость сближения:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{90 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 0.9 \text{ ч}$

5. Определим, на каком расстоянии от пункта А произошла встреча.

Это расстояние равно пути, который проделал автобус от начала своего движения до момента встречи. Общее время движения автобуса складывается из времени, которое он ехал один ($t_1$), и времени, которое он ехал до встречи с автомобилем ($t_2$).

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 4 \text{ ч} + 0.9 \text{ ч} = 4.9 \text{ ч}$

Теперь найдем итоговое расстояние от пункта А:

$S_{встречи} = v_{авт} \times t_{общ} = 40 \text{ км/ч} \times 4.9 \text{ ч} = 196 \text{ км}$

Проверим результат, рассчитав расстояние от пункта В. Автомобиль ехал 0.9 ч со скоростью 60 км/ч, проехав $60 \times 0.9 = 54$ км. Расстояние от пункта А будет $250 \text{ км} - 54 \text{ км} = 196 \text{ км}$. Результаты совпадают.

Ответ: автомобиль и автобус встретились на расстоянии 196 км от пункта А.

РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

174 Разберите, как составлено уравнение по условию задачи, и доведите решение до конца:

«Клиент открыл счёт в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11 %. Если бы он добавил 800 р., то через год получил бы доход 220 р. Какая сумма была внесена им в банк?»

Составление уравнения:

1) $x$ р. — сумма, которую клиент внёс в банк.

2) $(x + 800)$ р. — такая сумма была бы на вкладе, если бы он добавил 800 р.

3) $0,11(x + 800)$ р. — доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен 220 р., то имеем равенство

$0,11(x + 800) = 220$

Объяснение составления уравнения:

Уравнение составлено на основе логических шагов, следующих из условия задачи:

1. Определение переменной. Неизвестная сумма, которую клиент изначально внёс в банк, обозначается как $x$ рублей.
2. Формулирование гипотетической ситуации. В задаче рассматривается условие «Если бы он добавил 800 р.». В этом случае общая сумма на счёте составила бы $(x + 800)$ рублей.
3. Расчёт дохода. Годовой доход составляет 11%. Чтобы найти 11% от числа, нужно умножить это число на 0,11 (поскольку $11\% = \frac{11}{100} = 0,11$). Таким образом, годовой доход от гипотетической суммы $(x + 800)$ р. равен $0,11 \cdot (x + 800)$ р.
4. Составление равенства. По условию, этот гипотетический доход равен 220 р. Приравнивая выражение для дохода к этому значению, мы получаем итоговое уравнение: $0,11(x + 800) = 220$.

Решение уравнения:

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти первоначальную сумму вклада $x$.

Наше уравнение:

$0,11(x + 800) = 220$

Разделим обе части уравнения на 0,11, чтобы найти значение выражения в скобках:

$x + 800 = \frac{220}{0,11}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель дроби на 100:

$x + 800 = \frac{22000}{11}$

$x + 800 = 2000$

Теперь вычтем 800 из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = 2000 - 800$

$x = 1200$

Следовательно, первоначальная сумма, внесённая клиентом в банк, составила 1200 рублей.

Проверка: Если бы на счёте было $1200 + 800 = 2000$ р., то годовой доход составил бы $2000 \cdot 0,11 = 220$ р., что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 1200 р.

175 Получив премию, сотрудник фирмы решил положить её на счёт в банке. Он может открыть счёт с годовым доходом 8 %. Если бы банк выплачивал 11% годовых, то для получения такого же дохода потребовалось бы на 900 р. меньше. Определите, сколько рублей составляла премия.

Пусть $P$ — это размер премии в рублях.

В первом случае сотрудник кладет всю премию $P$ на счёт под 8% годовых. Годовой доход $I_1$ от этого вклада составляет:
$I_1 = P \times \frac{8}{100} = 0.08P$

Во втором, гипотетическом, случае, для получения такого же годового дохода при ставке 11% годовых, потребовалось бы вложить сумму на 900 рублей меньше, то есть $(P - 900)$ рублей. Годовой доход $I_2$ в этом случае был бы равен:
$I_2 = (P - 900) \times \frac{11}{100} = 0.11(P - 900)$

По условию задачи, годовой доход в обоих случаях одинаков, то есть $I_1 = I_2$. Составим и решим уравнение:
$0.08P = 0.11(P - 900)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$0.08P = 0.11P - 0.11 \times 900$
$0.08P = 0.11P - 99$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $P$, в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$0.11P - 0.08P = 99$
$0.03P = 99$

Теперь найдем $P$, разделив обе части уравнения на 0.03:
$P = \frac{99}{0.03}$
$P = \frac{9900}{3}$
$P = 3300$

Таким образом, премия сотрудника составляла 3300 рублей.

Ответ: 3300 рублей.

Решите уравнение (176–177).

176 а) $\frac{3x+4}{5} + 2x = \frac{22-x}{5} + 16;$

б) $\frac{3x-5}{2} - \frac{2x-3}{3} = 4 - x;$

в) $2x + \frac{2x-1}{2} - 1 = \frac{5x-2}{3};$

г) $\frac{x-6}{4} - \frac{2x-1}{6} = 2 + 2x.$

а) $ \frac{3x+4}{5} + 2x = \frac{22-x}{5} + 16 $

Для решения этого уравнения избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на 5:

$ 5 \cdot (\frac{3x+4}{5} + 2x) = 5 \cdot (\frac{22-x}{5} + 16) $

$ 5 \cdot \frac{3x+4}{5} + 5 \cdot 2x = 5 \cdot \frac{22-x}{5} + 5 \cdot 16 $

$ 3x+4 + 10x = 22-x + 80 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$ 13x + 4 = 102 - x $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 13x + x = 102 - 4 $

$ 14x = 98 $

Разделим обе части на 14, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{98}{14} $

$ x = 7 $

Ответ: $x=7$.

б) $ \frac{3x-5}{2} - \frac{2x-3}{3} = 4 - x $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:

$ 6 \cdot (\frac{3x-5}{2} - \frac{2x-3}{3}) = 6 \cdot (4 - x) $

$ 6 \cdot \frac{3x-5}{2} - 6 \cdot \frac{2x-3}{3} = 6 \cdot 4 - 6 \cdot x $

$ 3(3x-5) - 2(2x-3) = 24 - 6x $

Раскроем скобки:

$ 9x - 15 - 4x + 6 = 24 - 6x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 5x - 9 = 24 - 6x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$ 5x + 6x = 24 + 9 $

$ 11x = 33 $

Найдем $x$, разделив обе части на 11:

$ x = \frac{33}{11} $

$ x = 3 $

Ответ: $x=3$.

в) $ 2x + \frac{2x-1}{2} - 1 = \frac{5x-2}{3} $

Умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 6 (НОК(2, 3) = 6):

$ 6 \cdot (2x + \frac{2x-1}{2} - 1) = 6 \cdot \frac{5x-2}{3} $

$ 6 \cdot 2x + 6 \cdot \frac{2x-1}{2} - 6 \cdot 1 = 2(5x-2) $

$ 12x + 3(2x-1) - 6 = 2(5x-2) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 12x + 6x - 3 - 6 = 10x - 4 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 18x - 9 = 10x - 4 $

Сгруппируем слагаемые с $x$ слева, а свободные члены справа:

$ 18x - 10x = -4 + 9 $

$ 8x = 5 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{5}{8} $

Ответ: $x=\frac{5}{8}$.

г) $ \frac{x-6}{4} - \frac{2x-1}{6} = 2 + 2x $

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot (\frac{x-6}{4} - \frac{2x-1}{6}) = 12 \cdot (2 + 2x) $

$ 12 \cdot \frac{x-6}{4} - 12 \cdot \frac{2x-1}{6} = 12 \cdot 2 + 12 \cdot 2x $

$ 3(x-6) - 2(2x-1) = 24 + 24x $

Раскроем скобки:

$ 3x - 18 - 4x + 2 = 24 + 24x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -x - 16 = 24 + 24x $

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а константы — в левую:

$ -16 - 24 = 24x + x $

$ -40 = 25x $

Найдем $x$:

$ x = -\frac{40}{25} $

Сократим дробь на 5:

$ x = -\frac{8}{5} $

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$ x = -1,6 $

Ответ: $x=-1,6$.

177 a) $\frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} + \frac{x+2}{3} = 1$;

б) $\frac{x-2}{3} + \frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{6} = 0$;

В) $x + \frac{x-10}{2} + \frac{x-9}{5} = \frac{2x-3}{5} - 1$;

Г) $\frac{1-2x}{3} - \frac{5-3x}{6} + \frac{1-3x}{2} = x+4.$

а) Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} + \frac{x+2}{3} = 1 $
Чтобы избавиться от дробей, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$ 6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{2x+1}{3} + 6 \cdot \frac{x+2}{3} = 6 \cdot 1 $
$ 3(x-1) - 2(2x+1) + 2(x+2) = 6 $
Раскроем скобки:
$ 3x - 3 - 4x - 2 + 2x + 4 = 6 $
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):
$ (3x - 4x + 2x) + (-3 - 2 + 4) = 6 $
$ x - 1 = 6 $
Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:
$ x = 6 + 1 $
$ x = 7 $
Ответ: $ x = 7 $

б) Исходное уравнение: $ \frac{x-2}{3} + \frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{6} = 0 $
Наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 6 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы устранить знаменатели:
$ 6 \cdot \frac{x-2}{3} + 6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{x-3}{6} = 6 \cdot 0 $
$ 2(x-2) + 3(x-1) - 1(x-3) = 0 $
Раскроем скобки. Обратим внимание на знак минус перед последней скобкой:
$ 2x - 4 + 3x - 3 - x + 3 = 0 $
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$ (2x + 3x - x) + (-4 - 3 + 3) = 0 $
$ 4x - 4 = 0 $
Перенесем -4 в правую часть:
$ 4x = 4 $
Разделим обе части на 4:
$ x = \frac{4}{4} $
$ x = 1 $
Ответ: $ x = 1 $

в) Исходное уравнение: $ x + \frac{x-10}{2} + \frac{x-9}{5} = \frac{2x-3}{5} - 1 $
Наименьший общий знаменатель для 2 и 5 равен 10. Умножим обе части уравнения на 10:
$ 10 \cdot x + 10 \cdot \frac{x-10}{2} + 10 \cdot \frac{x-9}{5} = 10 \cdot \frac{2x-3}{5} - 10 \cdot 1 $
$ 10x + 5(x-10) + 2(x-9) = 2(2x-3) - 10 $
Раскроем скобки:
$ 10x + 5x - 50 + 2x - 18 = 4x - 6 - 10 $
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения по отдельности:
$ 17x - 68 = 4x - 16 $
Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе:
$ 17x - 4x = 68 - 16 $
$ 13x = 52 $
Разделим обе части на 13:
$ x = \frac{52}{13} $
$ x = 4 $
Ответ: $ x = 4 $

г) Исходное уравнение: $ \frac{1-2x}{3} - \frac{5-3x}{6} + \frac{1-3x}{2} = x + 4 $
Наименьший общий знаменатель для 3, 6 и 2 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$ 6 \cdot \frac{1-2x}{3} - 6 \cdot \frac{5-3x}{6} + 6 \cdot \frac{1-3x}{2} = 6 \cdot (x + 4) $
$ 2(1-2x) - 1(5-3x) + 3(1-3x) = 6(x+4) $
Раскроем скобки. Важно правильно раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус:
$ 2 - 4x - 5 + 3x + 3 - 9x = 6x + 24 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ (-4x + 3x - 9x) + (2 - 5 + 3) = 6x + 24 $
$ -10x + 0 = 6x + 24 $
$ -10x = 6x + 24 $
Перенесем $6x$ из правой части в левую:
$ -10x - 6x = 24 $
$ -16x = 24 $
Разделим обе части на -16:
$ x = \frac{24}{-16} $
Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 8:
$ x = -\frac{3}{2} $
Ответ: $ x = -\frac{3}{2} $

Решите задачу (178–185).

178 Туристы отправляются на лодке вверх по реке на рыбалку и должны вернуться на базу через 4 ч. Скорость лодки в стоячей воде 8 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. Туристы планируют провести на рыбалке 3 ч. На какое максимальное расстояние они могут отплыть от базы?

Для решения задачи определим следующие параметры:$v_{соб}$ — собственная скорость лодки (8 км/ч),$v_{теч}$ — скорость течения реки (2 км/ч),$t_{общ}$ — общее время, которое туристы могут отсутствовать (4 ч),$t_{рыб}$ — время, затраченное на рыбалку (3 ч),$S$ — максимальное расстояние от базы, которое нужно найти.

1. Найдем общее время, которое туристы могут потратить на дорогу.

Общее время на поездку туда и обратно равно разности между всем доступным временем и временем на рыбалку:$t_{пути} = t_{общ} - t_{рыб} = 4 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$.

2. Рассчитаем скорость лодки при движении вверх по реке и вниз по реке.

Туристы отправляются вверх по реке, то есть против течения. Скорость лодки против течения ($v_{против}$) равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:$v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 8 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч}$.

На обратном пути туристы будут плыть вниз по реке, то есть по течению. Скорость лодки по течению ($v_{по}$) равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:$v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 8 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения максимального расстояния.

Пусть $S$ — искомое расстояние в километрах. Время, затраченное на путь вверх по реке, равно $t_{вверх} = \frac{S}{v_{против}}$. Время, затраченное на путь вниз по реке, равно $t_{вниз} = \frac{S}{v_{по}}$.Суммарное время на дорогу составляет 1 час, следовательно:$t_{вверх} + t_{вниз} = t_{пути}$$\frac{S}{v_{против}} + \frac{S}{v_{по}} = 1$

Подставим известные значения скоростей:$\frac{S}{6} + \frac{S}{10} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю (30):$\frac{5S}{30} + \frac{3S}{30} = 1$$\frac{8S}{30} = 1$

Теперь найдем $S$:$8S = 30$$S = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$ км.

Ответ: 3,75 км.