Номер 176, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 176, страница 49.

Условие.

Решите уравнение (176–177).

176 а) $\frac{3x+4}{5} + 2x = \frac{22-x}{5} + 16;$

б) $\frac{3x-5}{2} - \frac{2x-3}{3} = 4 - x;$

в) $2x + \frac{2x-1}{2} - 1 = \frac{5x-2}{3};$

г) $\frac{x-6}{4} - \frac{2x-1}{6} = 2 + 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \frac{3x+4}{5} + 2x = \frac{22-x}{5} + 16 $

Для решения этого уравнения избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на 5:

$ 5 \cdot (\frac{3x+4}{5} + 2x) = 5 \cdot (\frac{22-x}{5} + 16) $

$ 5 \cdot \frac{3x+4}{5} + 5 \cdot 2x = 5 \cdot \frac{22-x}{5} + 5 \cdot 16 $

$ 3x+4 + 10x = 22-x + 80 $

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$ 13x + 4 = 102 - x $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 13x + x = 102 - 4 $

$ 14x = 98 $

Разделим обе части на 14, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{98}{14} $

$ x = 7 $

Ответ: $x=7$.

б) $ \frac{3x-5}{2} - \frac{2x-3}{3} = 4 - x $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:

$ 6 \cdot (\frac{3x-5}{2} - \frac{2x-3}{3}) = 6 \cdot (4 - x) $

$ 6 \cdot \frac{3x-5}{2} - 6 \cdot \frac{2x-3}{3} = 6 \cdot 4 - 6 \cdot x $

$ 3(3x-5) - 2(2x-3) = 24 - 6x $

Раскроем скобки:

$ 9x - 15 - 4x + 6 = 24 - 6x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 5x - 9 = 24 - 6x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$ 5x + 6x = 24 + 9 $

$ 11x = 33 $

Найдем $x$, разделив обе части на 11:

$ x = \frac{33}{11} $

$ x = 3 $

Ответ: $x=3$.

в) $ 2x + \frac{2x-1}{2} - 1 = \frac{5x-2}{3} $

Умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 6 (НОК(2, 3) = 6):

$ 6 \cdot (2x + \frac{2x-1}{2} - 1) = 6 \cdot \frac{5x-2}{3} $

$ 6 \cdot 2x + 6 \cdot \frac{2x-1}{2} - 6 \cdot 1 = 2(5x-2) $

$ 12x + 3(2x-1) - 6 = 2(5x-2) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 12x + 6x - 3 - 6 = 10x - 4 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 18x - 9 = 10x - 4 $

Сгруппируем слагаемые с $x$ слева, а свободные члены справа:

$ 18x - 10x = -4 + 9 $

$ 8x = 5 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{5}{8} $

Ответ: $x=\frac{5}{8}$.

г) $ \frac{x-6}{4} - \frac{2x-1}{6} = 2 + 2x $

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot (\frac{x-6}{4} - \frac{2x-1}{6}) = 12 \cdot (2 + 2x) $

$ 12 \cdot \frac{x-6}{4} - 12 \cdot \frac{2x-1}{6} = 12 \cdot 2 + 12 \cdot 2x $

$ 3(x-6) - 2(2x-1) = 24 + 24x $

Раскроем скобки:

$ 3x - 18 - 4x + 2 = 24 + 24x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -x - 16 = 24 + 24x $

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а константы — в левую:

$ -16 - 24 = 24x + x $

$ -40 = 25x $

Найдем $x$:

$ x = -\frac{40}{25} $

Сократим дробь на 5:

$ x = -\frac{8}{5} $

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$ x = -1,6 $

Ответ: $x=-1,6$.