Номер 177, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 177, страница 49.

Условие.

177 a) $\frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} + \frac{x+2}{3} = 1$;

б) $\frac{x-2}{3} + \frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{6} = 0$;

В) $x + \frac{x-10}{2} + \frac{x-9}{5} = \frac{2x-3}{5} - 1$;

Г) $\frac{1-2x}{3} - \frac{5-3x}{6} + \frac{1-3x}{2} = x+4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{2} - \frac{2x+1}{3} + \frac{x+2}{3} = 1 $
Чтобы избавиться от дробей, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$ 6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{2x+1}{3} + 6 \cdot \frac{x+2}{3} = 6 \cdot 1 $
$ 3(x-1) - 2(2x+1) + 2(x+2) = 6 $
Раскроем скобки:
$ 3x - 3 - 4x - 2 + 2x + 4 = 6 $
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):
$ (3x - 4x + 2x) + (-3 - 2 + 4) = 6 $
$ x - 1 = 6 $
Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак:
$ x = 6 + 1 $
$ x = 7 $
Ответ: $ x = 7 $

б) Исходное уравнение: $ \frac{x-2}{3} + \frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{6} = 0 $
Наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 6 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы устранить знаменатели:
$ 6 \cdot \frac{x-2}{3} + 6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{x-3}{6} = 6 \cdot 0 $
$ 2(x-2) + 3(x-1) - 1(x-3) = 0 $
Раскроем скобки. Обратим внимание на знак минус перед последней скобкой:
$ 2x - 4 + 3x - 3 - x + 3 = 0 $
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$ (2x + 3x - x) + (-4 - 3 + 3) = 0 $
$ 4x - 4 = 0 $
Перенесем -4 в правую часть:
$ 4x = 4 $
Разделим обе части на 4:
$ x = \frac{4}{4} $
$ x = 1 $
Ответ: $ x = 1 $

в) Исходное уравнение: $ x + \frac{x-10}{2} + \frac{x-9}{5} = \frac{2x-3}{5} - 1 $
Наименьший общий знаменатель для 2 и 5 равен 10. Умножим обе части уравнения на 10:
$ 10 \cdot x + 10 \cdot \frac{x-10}{2} + 10 \cdot \frac{x-9}{5} = 10 \cdot \frac{2x-3}{5} - 10 \cdot 1 $
$ 10x + 5(x-10) + 2(x-9) = 2(2x-3) - 10 $
Раскроем скобки:
$ 10x + 5x - 50 + 2x - 18 = 4x - 6 - 10 $
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения по отдельности:
$ 17x - 68 = 4x - 16 $
Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе:
$ 17x - 4x = 68 - 16 $
$ 13x = 52 $
Разделим обе части на 13:
$ x = \frac{52}{13} $
$ x = 4 $
Ответ: $ x = 4 $

г) Исходное уравнение: $ \frac{1-2x}{3} - \frac{5-3x}{6} + \frac{1-3x}{2} = x + 4 $
Наименьший общий знаменатель для 3, 6 и 2 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$ 6 \cdot \frac{1-2x}{3} - 6 \cdot \frac{5-3x}{6} + 6 \cdot \frac{1-3x}{2} = 6 \cdot (x + 4) $
$ 2(1-2x) - 1(5-3x) + 3(1-3x) = 6(x+4) $
Раскроем скобки. Важно правильно раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус:
$ 2 - 4x - 5 + 3x + 3 - 9x = 6x + 24 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ (-4x + 3x - 9x) + (2 - 5 + 3) = 6x + 24 $
$ -10x + 0 = 6x + 24 $
$ -10x = 6x + 24 $
Перенесем $6x$ из правой части в левую:
$ -10x - 6x = 24 $
$ -16x = 24 $
Разделим обе части на -16:
$ x = \frac{24}{-16} $
Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 8:
$ x = -\frac{3}{2} $
Ответ: $ x = -\frac{3}{2} $