Номер 182, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 182, страница 50.

Условие.

182 Андрей, развивая выносливость в беге, сначала бежал 40 мин по просёлочной дороге, а затем по лесной тропе. И хотя путь по тропе оказался на 2 км короче, он затратил на него на 5 мин больше, так как уменьшил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние пробежал Андрей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_1$ (в км/ч) и $S_1$ (в км) – скорость и расстояние, которые Андрей пробежал по просёлочной дороге, а $v_2$ (в км/ч) и $S_2$ (в км) – его скорость и расстояние на лесной тропе.

Из условия задачи известны следующие данные:

• Время бега по просёлочной дороге: $t_1 = 40$ мин.
• Время бега по лесной тропе на 5 мин больше: $t_2 = 40 + 5 = 45$ мин.
• Путь по тропе на 2 км короче: $S_2 = S_1 - 2$ км.
• Скорость на тропе на 4 км/ч меньше: $v_2 = v_1 - 4$ км/ч.

Переведем время из минут в часы, так как скорость дана в км/ч:

$t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$

$t_2 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$

Используем основную формулу расстояния $S = v \cdot t$ для каждого участка пути:

1. Для просёлочной дороги: $S_1 = v_1 \cdot t_1 \Rightarrow S_1 = v_1 \cdot \frac{2}{3}$

2. Для лесной тропы: $S_2 = v_2 \cdot t_2 \Rightarrow S_2 = (v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4}$

Теперь подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в соотношение $S_2 = S_1 - 2$:

$(v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4} = (v_1 \cdot \frac{2}{3}) - 2$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $v_1$. Для удобства умножим обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4):

$12 \cdot (v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4} = 12 \cdot (v_1 \cdot \frac{2}{3}) - 12 \cdot 2$

$9 \cdot (v_1 - 4) = 8 \cdot v_1 - 24$

$9v_1 - 36 = 8v_1 - 24$

$9v_1 - 8v_1 = 36 - 24$

$v_1 = 12$ км/ч.

Теперь, зная скорость на просёлочной дороге, мы можем найти расстояние каждого участка:

Расстояние по просёлочной дороге:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ км.

Расстояние по лесной тропе:

$S_2 = S_1 - 2 = 8 - 2 = 6$ км.

Общее расстояние, которое пробежал Андрей, равно сумме расстояний двух участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 8 + 6 = 14$ км.

Ответ: 14 км.