Номер 186, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 186, страница 50.

Условие.

186 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Разберите, как составлено уравнение по условию задачи, и доведите решение до конца: «Сколько граммов 75 %-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15 %-ного раствора этой же кислоты, чтобы получить 50 %-ный раствор?»

Составление уравнения:

1) $x$ г — количество 75 %-ного раствора кислоты, которое надо добавить;

2) $(30 + x)$ г — масса получившегося 50 %-ного раствора кислоты;

3) $0.75x$ г — количество кислоты в $x$ г 75 %-ного раствора;

4) $0.15 \cdot 30$ г — количество кислоты в 30 г 15 %-ного раствора;

5) $0.5(30 + x)$ г — количество кислоты в 50 %-ном растворе.

Уравнение:

кол-во кислоты в 75 %-ном растворе + кол-во кислоты в 15 %-ном растворе = кол-во кислоты в 50 %-ном растворе

$0.75x + 0.15 \cdot 30 = 0.5(30 + x)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Разбор составления уравнения

Уравнение составлено на основе закона сохранения массы вещества. При смешивании растворов общая масса чистой кислоты в полученном растворе равна сумме масс чистой кислоты в исходных растворах.

Рассмотрим каждый шаг, описанный в условии:

1) $x$ г — это неизвестная масса 75%-ного раствора кислоты, которую нам необходимо найти. Введение этой переменной позволяет составить математическое уравнение для решения задачи.

2) $(30 + x)$ г — это общая масса итогового раствора. Она получается путем сложения масс двух смешиваемых растворов: исходных 30 граммов и добавленных $x$ граммов.

3) $0,75x$ г — это масса чистой кислоты в добавляемом 75%-ном растворе. Чтобы найти массу чистого вещества, нужно общую массу раствора ($x$ г) умножить на его концентрацию, выраженную в долях (75% = 0,75).

4) $0,15 \cdot 30$ г — это масса чистой кислоты в исходном 15%-ном растворе. Аналогично, масса кислоты вычисляется как произведение массы раствора (30 г) на его концентрацию (15% = 0,15).

5) $0,5(30 + x)$ г — это масса чистой кислоты в конечном, 50%-ном растворе. Она равна произведению общей массы полученного раствора ($(30 + x)$ г) на его заданную концентрацию (50% = 0,5).

Приравнивая сумму масс кислоты в исходных растворах (пункты 3 и 4) к массе кислоты в конечном растворе (пункт 5), мы получаем уравнение:

(кол-во кислоты в 75%-ном растворе) + (кол-во кислоты в 15%-ном растворе) = (кол-во кислоты в 50%-ном растворе)

$0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(30 + x)$

Доведение решения до конца

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти $x$.

Исходное уравнение:

$0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(30 + x)$

1. Вычислим произведение в левой части:

$0,75x + 4,5 = 0,5(30 + x)$

2. Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 0,5 на каждый член в скобках:

$0,75x + 4,5 = 0,5 \cdot 30 + 0,5 \cdot x$

$0,75x + 4,5 = 15 + 0,5x$

3. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

$0,75x - 0,5x = 15 - 4,5$

4. Упростим обе части уравнения:

$0,25x = 10,5$

5. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$ (на 0,25):

$x = \frac{10,5}{0,25}$

Чтобы избавиться от дробей, можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{1050}{25} = 42$

Таким образом, для получения 50%-ного раствора необходимо добавить 42 грамма 75%-ного раствора кислоты.

Ответ: 42 г.