Номер 191, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 191, страница 54.

Условие.

191 При каких целых $n$ значение дроби является числом целым:

а) $\frac{10}{n+5}$; б) $\frac{15}{2n+1}$; в) $\frac{20}{3n-4}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы значение дроби $\frac{10}{n+5}$ было целым числом, необходимо, чтобы ее знаменатель, то есть выражение $(n+5)$, был целым делителем числителя 10. Целыми делителями числа 10 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$.

Приравняем знаменатель к каждому из этих делителей и найдем соответствующие значения $n$:

1) $n+5 = 1 \implies n = 1 - 5 = -4$

2) $n+5 = -1 \implies n = -1 - 5 = -6$

3) $n+5 = 2 \implies n = 2 - 5 = -3$

4) $n+5 = -2 \implies n = -2 - 5 = -7$

5) $n+5 = 5 \implies n = 5 - 5 = 0$

6) $n+5 = -5 \implies n = -5 - 5 = -10$

7) $n+5 = 10 \implies n = 10 - 5 = 5$

8) $n+5 = -10 \implies n = -10 - 5 = -15$

Все найденные значения $n$ являются целыми.

Ответ: $n \in \{-15, -10, -7, -6, -4, -3, 0, 5\}$.

б) Чтобы значение дроби $\frac{15}{2n+1}$ было целым числом, ее знаменатель $(2n+1)$ должен быть целым делителем числителя 15. Целыми делителями числа 15 являются числа: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$.

Приравняем знаменатель к каждому из этих делителей и решим полученные уравнения относительно $n$:

1) $2n+1 = 1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$

2) $2n+1 = -1 \implies 2n = -2 \implies n = -1$

3) $2n+1 = 3 \implies 2n = 2 \implies n = 1$

4) $2n+1 = -3 \implies 2n = -4 \implies n = -2$

5) $2n+1 = 5 \implies 2n = 4 \implies n = 2$

6) $2n+1 = -5 \implies 2n = -6 \implies n = -3$

7) $2n+1 = 15 \implies 2n = 14 \implies n = 7$

8) $2n+1 = -15 \implies 2n = -16 \implies n = -8$

Во всех случаях мы получили целые значения $n$. Это ожидаемо, так как для любого целого $n$ выражение $2n+1$ является нечетным, а все делители числа 15 также нечетные.

Ответ: $n \in \{-8, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 7\}$.

в) Чтобы значение дроби $\frac{20}{3n-4}$ было целым числом, ее знаменатель $(3n-4)$ должен быть целым делителем числителя 20. Целыми делителями числа 20 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

Пусть $3n-4=k$, где $k$ — один из делителей числа 20. Выразим $n$ через $k$: $3n = k+4$, откуда $n=\frac{k+4}{3}$. Поскольку $n$ должно быть целым числом, сумма $(k+4)$ должна быть кратна 3.

Проверим все делители $k$ числа 20, чтобы найти те, для которых $n$ является целым:

При $k=1$, $n=\frac{1+4}{3}=\frac{5}{3}$ (не целое).

При $k=-1$, $n=\frac{-1+4}{3}=\frac{3}{3}=1$ (целое).

При $k=2$, $n=\frac{2+4}{3}=\frac{6}{3}=2$ (целое).

При $k=-2$, $n=\frac{-2+4}{3}=\frac{2}{3}$ (не целое).

При $k=4$, $n=\frac{4+4}{3}=\frac{8}{3}$ (не целое).

При $k=-4$, $n=\frac{-4+4}{3}=\frac{0}{3}=0$ (целое).

При $k=5$, $n=\frac{5+4}{3}=\frac{9}{3}=3$ (целое).

При $k=-5$, $n=\frac{-5+4}{3}=-\frac{1}{3}$ (не целое).

При $k=10$, $n=\frac{10+4}{3}=\frac{14}{3}$ (не целое).

При $k=-10$, $n=\frac{-10+4}{3}=\frac{-6}{3}=-2$ (целое).

При $k=20$, $n=\frac{20+4}{3}=\frac{24}{3}=8$ (целое).

При $k=-20$, $n=\frac{-20+4}{3}=-\frac{16}{3}$ (не целое).

Таким образом, мы нашли все целые значения $n$, при которых дробь является целым числом.

Ответ: $n \in \{-2, 0, 1, 2, 3, 8\}$.