Страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

190 Выполнив деление уголком, представьте данную дробь в виде суммы многочлена и «правильной» дроби:

а) $\frac{3n^2 - 10n - 3}{n - 4}$;

б) $\frac{n^3 + n^2 - n + 5}{n + 2}$.

a) Чтобы представить дробь $ \frac{3n^2-10n-3}{n-4} $ в виде суммы многочлена и правильной дроби, необходимо выполнить деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе столбиком (уголком). Правильная дробь — это дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Выполним деление $3n^2-10n-3$ на $n-4$:

1. Делим первый член делимого ($3n^2$) на первый член делителя ($n$): $ \frac{3n^2}{n} = 3n $. Это первый член частного.
2. Умножаем делитель ($n-4$) на полученный член частного ($3n$): $ 3n \cdot (n-4) = 3n^2 - 12n $.
3. Вычитаем результат из делимого: $ (3n^2 - 10n) - (3n^2 - 12n) = 2n $. Сносим следующий член делимого ($-3$), получаем $ 2n - 3 $.
4. Делим первый член нового делимого ($2n$) на первый член делителя ($n$): $ \frac{2n}{n} = 2 $. Это второй член частного.
5. Умножаем делитель ($n-4$) на второй член частного ($2$): $ 2 \cdot (n-4) = 2n - 8 $.
6. Вычитаем результат из $ 2n - 3 $: $ (2n - 3) - (2n - 8) = 5 $. Это остаток, так как его степень (0) меньше степени делителя (1).

Схематично это выглядит так:

 3n + 2 ____________n-4 | 3n² - 10n - 3 - (3n² - 12n) ---------- 2n - 3 - (2n - 8) ------- 5

Таким образом, частное (многочлен) равно $ 3n+2 $, а остаток равен $ 5 $. Исходную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:

$ \frac{3n^2-10n-3}{n-4} = 3n+2 + \frac{5}{n-4} $

Ответ: $3n+2+\frac{5}{n-4}$

б) Аналогично выполним деление многочлена $ n^3+n^2-n+5 $ на многочлен $ n+2 $ столбиком.

1. Делим $ n^3 $ на $ n $: $ \frac{n^3}{n} = n^2 $. Это первый член частного.
2. Умножаем $ n+2 $ на $ n^2 $: $ n^2(n+2) = n^3+2n^2 $.
3. Вычитаем из делимого: $ (n^3+n^2) - (n^3+2n^2) = -n^2 $. Сносим $ -n $, получаем $ -n^2 - n $.
4. Делим $ -n^2 $ на $ n $: $ \frac{-n^2}{n} = -n $. Это второй член частного.
5. Умножаем $ n+2 $ на $ -n $: $ -n(n+2) = -n^2-2n $.
6. Вычитаем из $ -n^2 - n $: $ (-n^2-n) - (-n^2-2n) = n $. Сносим $ 5 $, получаем $ n+5 $.
7. Делим $ n $ на $ n $: $ \frac{n}{n} = 1 $. Это третий член частного.
8. Умножаем $ n+2 $ на $ 1 $: $ 1(n+2) = n+2 $.
9. Вычитаем из $ n+5 $: $ (n+5) - (n+2) = 3 $. Это остаток.

Схема деления:

 n² - n + 1 ________________n+2 | n³ + n² - n + 5 - (n³ + 2n²) ---------- -n² - n - (-n² - 2n) --------- n + 5 - (n + 2) ----- 3

Частное равно $ n^2-n+1 $, остаток равен $ 3 $. Представляем дробь в виде суммы:

$ \frac{n^3+n^2-n+5}{n+2} = n^2-n+1 + \frac{3}{n+2} $

Ответ: $n^2-n+1+\frac{3}{n+2}$

191 При каких целых $n$ значение дроби является числом целым:

а) $\frac{10}{n+5}$; б) $\frac{15}{2n+1}$; в) $\frac{20}{3n-4}$?

а) Чтобы значение дроби $\frac{10}{n+5}$ было целым числом, необходимо, чтобы ее знаменатель, то есть выражение $(n+5)$, был целым делителем числителя 10. Целыми делителями числа 10 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$.

Приравняем знаменатель к каждому из этих делителей и найдем соответствующие значения $n$:

1) $n+5 = 1 \implies n = 1 - 5 = -4$

2) $n+5 = -1 \implies n = -1 - 5 = -6$

3) $n+5 = 2 \implies n = 2 - 5 = -3$

4) $n+5 = -2 \implies n = -2 - 5 = -7$

5) $n+5 = 5 \implies n = 5 - 5 = 0$

6) $n+5 = -5 \implies n = -5 - 5 = -10$

7) $n+5 = 10 \implies n = 10 - 5 = 5$

8) $n+5 = -10 \implies n = -10 - 5 = -15$

Все найденные значения $n$ являются целыми.

Ответ: $n \in \{-15, -10, -7, -6, -4, -3, 0, 5\}$.

б) Чтобы значение дроби $\frac{15}{2n+1}$ было целым числом, ее знаменатель $(2n+1)$ должен быть целым делителем числителя 15. Целыми делителями числа 15 являются числа: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$.

Приравняем знаменатель к каждому из этих делителей и решим полученные уравнения относительно $n$:

1) $2n+1 = 1 \implies 2n = 0 \implies n = 0$

2) $2n+1 = -1 \implies 2n = -2 \implies n = -1$

3) $2n+1 = 3 \implies 2n = 2 \implies n = 1$

4) $2n+1 = -3 \implies 2n = -4 \implies n = -2$

5) $2n+1 = 5 \implies 2n = 4 \implies n = 2$

6) $2n+1 = -5 \implies 2n = -6 \implies n = -3$

7) $2n+1 = 15 \implies 2n = 14 \implies n = 7$

8) $2n+1 = -15 \implies 2n = -16 \implies n = -8$

Во всех случаях мы получили целые значения $n$. Это ожидаемо, так как для любого целого $n$ выражение $2n+1$ является нечетным, а все делители числа 15 также нечетные.

Ответ: $n \in \{-8, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 7\}$.

в) Чтобы значение дроби $\frac{20}{3n-4}$ было целым числом, ее знаменатель $(3n-4)$ должен быть целым делителем числителя 20. Целыми делителями числа 20 являются числа: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

Пусть $3n-4=k$, где $k$ — один из делителей числа 20. Выразим $n$ через $k$: $3n = k+4$, откуда $n=\frac{k+4}{3}$. Поскольку $n$ должно быть целым числом, сумма $(k+4)$ должна быть кратна 3.

Проверим все делители $k$ числа 20, чтобы найти те, для которых $n$ является целым:

При $k=1$, $n=\frac{1+4}{3}=\frac{5}{3}$ (не целое).

При $k=-1$, $n=\frac{-1+4}{3}=\frac{3}{3}=1$ (целое).

При $k=2$, $n=\frac{2+4}{3}=\frac{6}{3}=2$ (целое).

При $k=-2$, $n=\frac{-2+4}{3}=\frac{2}{3}$ (не целое).

При $k=4$, $n=\frac{4+4}{3}=\frac{8}{3}$ (не целое).

При $k=-4$, $n=\frac{-4+4}{3}=\frac{0}{3}=0$ (целое).

При $k=5$, $n=\frac{5+4}{3}=\frac{9}{3}=3$ (целое).

При $k=-5$, $n=\frac{-5+4}{3}=-\frac{1}{3}$ (не целое).

При $k=10$, $n=\frac{10+4}{3}=\frac{14}{3}$ (не целое).

При $k=-10$, $n=\frac{-10+4}{3}=\frac{-6}{3}=-2$ (целое).

При $k=20$, $n=\frac{20+4}{3}=\frac{24}{3}=8$ (целое).

При $k=-20$, $n=\frac{-20+4}{3}=-\frac{16}{3}$ (не целое).

Таким образом, мы нашли все целые значения $n$, при которых дробь является целым числом.

Ответ: $n \in \{-2, 0, 1, 2, 3, 8\}$.

192 Найдите все целые значения n, при которых значение дроби $\frac{8}{2n+1}$ является целым числом.

би

Для того чтобы значение дроби $\frac{8}{2n+1}$ было целым числом, необходимо, чтобы её знаменатель $(2n+1)$ был целым делителем числителя, то есть числа 8.

Выпишем все целые делители числа 8: $\{-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8\}$.

По условию $n$ является целым числом. Это значит, что выражение $2n$ всегда будет чётным числом, а выражение $(2n+1)$ — всегда нечётным.

Следовательно, из всех делителей числа 8 нам нужно выбрать только нечётные. Такими делителями являются $1$ и $-1$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) Знаменатель равен 1:
$2n + 1 = 1$
$2n = 1 - 1$
$2n = 0$
$n = 0$

2) Знаменатель равен -1:
$2n + 1 = -1$
$2n = -1 - 1$
$2n = -2$
$n = -1$

Полученные значения $n=0$ и $n=-1$ являются целыми, следовательно, они удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $-1; 0$.

193 Найдите все целые значения n, при которых значение дроби есть число целое:

a) $ \frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1} $;

б) $ \frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2} $.

а)

Чтобы значение дроби $\frac{2n^2 + 7n + 3}{2n - 1}$ было целым числом при целых $n$, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Выделим целую часть дроби. Для этого можно разделить многочлен $2n^2 + 7n + 3$ на многочлен $2n - 1$ столбиком или преобразовать числитель.

Преобразуем числитель, выделив в нем слагаемые, кратные знаменателю $(2n-1)$:

$2n^2 + 7n + 3 = (2n^2 - n) + 8n + 3 = n(2n - 1) + (8n - 4) + 7 = n(2n - 1) + 4(2n - 1) + 7 = (n + 4)(2n - 1) + 7$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(n + 4)(2n - 1) + 7}{2n - 1} = \frac{(n + 4)(2n - 1)}{2n - 1} + \frac{7}{2n - 1} = n + 4 + \frac{7}{2n - 1}$.

Поскольку $n$ — целое число, выражение $n + 4$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{7}{2n - 1}$ была целым числом. Это возможно только тогда, когда знаменатель $2n - 1$ является делителем числа 7.

Целые делители числа 7: $\{-7, -1, 1, 7\}$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. $2n - 1 = 1 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1$.

2. $2n - 1 = -1 \Rightarrow 2n = 0 \Rightarrow n = 0$.

3. $2n - 1 = 7 \Rightarrow 2n = 8 \Rightarrow n = 4$.

4. $2n - 1 = -7 \Rightarrow 2n = -6 \Rightarrow n = -3$.

Все найденные значения $n$ являются целыми числами.

Ответ: $n \in \{-3, 0, 1, 4\}$.

б)

Чтобы значение дроби $\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2}$ было целым числом при целых $n$, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка. Выделим целую часть дроби, разделив многочлен в числителе на многочлен в знаменателе.

Выполним деление многочленов (например, столбиком или по схеме Горнера). В результате деления получим:

$\frac{2n^3 + n^2 - 3n - 4}{n - 2} = 2n^2 + 5n + 7 + \frac{10}{n - 2}$.

Поскольку $n$ — целое число, выражение $2n^2 + 5n + 7$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{n - 2}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $n - 2$ является делителем числа 10.

Целые делители числа 10: $\{-10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10\}$.

Рассмотрим все возможные случаи для $n - 2$ и найдем соответствующие значения $n$:

1. $n - 2 = 1 \Rightarrow n = 3$.

2. $n - 2 = -1 \Rightarrow n = 1$.

3. $n - 2 = 2 \Rightarrow n = 4$.

4. $n - 2 = -2 \Rightarrow n = 0$.

5. $n - 2 = 5 \Rightarrow n = 7$.

6. $n - 2 = -5 \Rightarrow n = -3$.

7. $n - 2 = 10 \Rightarrow n = 12$.

8. $n - 2 = -10 \Rightarrow n = -8$.

Все найденные значения $n$ являются целыми числами.

Ответ: $n \in \{-8, -3, 0, 1, 3, 4, 7, 12\}$.

194 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

а) $\frac{5}{n+3}$;

б) $\frac{7}{n+2}$;

в) $\frac{n+1}{10}$?

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{5}{n+3} $, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. Числитель дроби равен 5. Число 5 — простое, его делители — это 1 и 5. Следовательно, для сокращения дроби необходимо, чтобы знаменатель $ n+3 $ делился на 5. Это означает, что $ n+3 $ должно быть кратно 5. Так как $ n $ — натуральное число, то $ n \ge 1 $, а значит $ n+3 \ge 4 $. Таким образом, $ n+3 $ должно быть числом, кратным 5 и большим или равным 4. То есть, $ n+3 $ может принимать значения 5, 10, 15, 20 и так далее. Это можно записать в виде формулы: $ n+3 = 5k $, где $ k $ — любое натуральное число ($ k \in \{1, 2, 3, \dots\} $). Выразим $ n $: $ n = 5k - 3 $.
Ответ: при всех натуральных $ n $ вида $ n = 5k - 3 $, где $ k $ — натуральное число.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{7}{n+2} $, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. Числитель дроби равен 7. Число 7 — простое, его делители — это 1 и 7. Следовательно, для сокращения дроби необходимо, чтобы знаменатель $ n+2 $ делился на 7. Это означает, что $ n+2 $ должно быть кратно 7. Так как $ n $ — натуральное число, то $ n \ge 1 $, а значит $ n+2 \ge 3 $. Таким образом, $ n+2 $ должно быть числом, кратным 7 и большим или равным 3. То есть, $ n+2 $ может принимать значения 7, 14, 21, 28 и так далее. Это можно записать в виде формулы: $ n+2 = 7k $, где $ k $ — любое натуральное число ($ k \in \{1, 2, 3, \dots\} $). Выразим $ n $: $ n = 7k - 2 $.
Ответ: при всех натуральных $ n $ вида $ n = 7k - 2 $, где $ k $ — натуральное число.

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{n+1}{10} $, ее числитель $ n+1 $ и знаменатель 10 должны иметь общий делитель, больший 1. Знаменатель 10 имеет простые делители 2 и 5. Следовательно, дробь будет сократимой, если числитель $ n+1 $ делится на 2 или на 5 (или на оба этих числа). Другими словами, наибольший общий делитель чисел $ n+1 $ и 10 должен быть больше 1. Рассмотрим, когда дробь несократима. Это происходит, когда $ n+1 $ и 10 взаимно просты, то есть когда $ n+1 $ не делится ни на 2, ни на 5. Число не делится на 2, если оно нечетное. Число не делится на 5, если его последняя цифра не 0 и не 5. Таким образом, $ n+1 $ должно быть нечетным числом, которое не оканчивается на 5. Это означает, что последняя цифра числа $ n+1 $ должна быть 1, 3, 7 или 9.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 1, то $ n $ оканчивается на 0.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 3, то $ n $ оканчивается на 2.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 7, то $ n $ оканчивается на 6.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 9, то $ n $ оканчивается на 8.
Итак, дробь несократима, если натуральное число $ n $ оканчивается на 0, 2, 6 или 8. Соответственно, дробь будет сократимой при всех остальных натуральных значениях $ n $. Это те значения $ n $, которые оканчиваются на 1, 3, 4, 5, 7 или 9.
Ответ: при всех натуральных $ n $, десятичная запись которых оканчивается на цифру 1, 3, 4, 5, 7 или 9.