Номер 194, страница 54 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 194, страница 54.

Условие.

194 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

а) $\frac{5}{n+3}$;

б) $\frac{7}{n+2}$;

в) $\frac{n+1}{10}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{5}{n+3} $, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. Числитель дроби равен 5. Число 5 — простое, его делители — это 1 и 5. Следовательно, для сокращения дроби необходимо, чтобы знаменатель $ n+3 $ делился на 5. Это означает, что $ n+3 $ должно быть кратно 5. Так как $ n $ — натуральное число, то $ n \ge 1 $, а значит $ n+3 \ge 4 $. Таким образом, $ n+3 $ должно быть числом, кратным 5 и большим или равным 4. То есть, $ n+3 $ может принимать значения 5, 10, 15, 20 и так далее. Это можно записать в виде формулы: $ n+3 = 5k $, где $ k $ — любое натуральное число ($ k \in \{1, 2, 3, \dots\} $). Выразим $ n $: $ n = 5k - 3 $.
Ответ: при всех натуральных $ n $ вида $ n = 5k - 3 $, где $ k $ — натуральное число.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{7}{n+2} $, ее числитель и знаменатель должны иметь общий делитель, больший 1. Числитель дроби равен 7. Число 7 — простое, его делители — это 1 и 7. Следовательно, для сокращения дроби необходимо, чтобы знаменатель $ n+2 $ делился на 7. Это означает, что $ n+2 $ должно быть кратно 7. Так как $ n $ — натуральное число, то $ n \ge 1 $, а значит $ n+2 \ge 3 $. Таким образом, $ n+2 $ должно быть числом, кратным 7 и большим или равным 3. То есть, $ n+2 $ может принимать значения 7, 14, 21, 28 и так далее. Это можно записать в виде формулы: $ n+2 = 7k $, где $ k $ — любое натуральное число ($ k \in \{1, 2, 3, \dots\} $). Выразим $ n $: $ n = 7k - 2 $.
Ответ: при всех натуральных $ n $ вида $ n = 7k - 2 $, где $ k $ — натуральное число.

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{n+1}{10} $, ее числитель $ n+1 $ и знаменатель 10 должны иметь общий делитель, больший 1. Знаменатель 10 имеет простые делители 2 и 5. Следовательно, дробь будет сократимой, если числитель $ n+1 $ делится на 2 или на 5 (или на оба этих числа). Другими словами, наибольший общий делитель чисел $ n+1 $ и 10 должен быть больше 1. Рассмотрим, когда дробь несократима. Это происходит, когда $ n+1 $ и 10 взаимно просты, то есть когда $ n+1 $ не делится ни на 2, ни на 5. Число не делится на 2, если оно нечетное. Число не делится на 5, если его последняя цифра не 0 и не 5. Таким образом, $ n+1 $ должно быть нечетным числом, которое не оканчивается на 5. Это означает, что последняя цифра числа $ n+1 $ должна быть 1, 3, 7 или 9.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 1, то $ n $ оканчивается на 0.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 3, то $ n $ оканчивается на 2.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 7, то $ n $ оканчивается на 6.
- Если $ n+1 $ оканчивается на 9, то $ n $ оканчивается на 8.
Итак, дробь несократима, если натуральное число $ n $ оканчивается на 0, 2, 6 или 8. Соответственно, дробь будет сократимой при всех остальных натуральных значениях $ n $. Это те значения $ n $, которые оканчиваются на 1, 3, 4, 5, 7 или 9.
Ответ: при всех натуральных $ n $, десятичная запись которых оканчивается на цифру 1, 3, 4, 5, 7 или 9.