Номер 197, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 197, страница 55.

Условие.

197 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

a) $ \frac{3n+1}{10} $;

б) $ \frac{5n+3}{4} $;

в) $ \frac{4n+2}{5} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы дробь $\frac{3n+1}{10}$ можно было сократить, ее числитель $3n+1$ и знаменатель $10$ должны иметь общий делитель, отличный от 1. Простые делители знаменателя $10$ — это 2 и 5. Следовательно, дробь сократима в том случае, если числитель $3n+1$ делится нацело на 2 или на 5.

1. Выясним, при каких $n$ числитель $3n+1$ делится на 2. Для этого выражение $3n+1$ должно быть четным числом. Это можно записать с помощью сравнения по модулю 2: $3n+1 \equiv 0 \pmod{2}$ Поскольку $3 \equiv 1 \pmod{2}$, сравнение упрощается: $n+1 \equiv 0 \pmod{2}$ $n \equiv -1 \pmod{2}$ или $n \equiv 1 \pmod{2}$ Это значит, что $n$ должно быть нечетным числом. Если $n$ — нечетное, то $3n$ — нечетное, а $3n+1$ — четное. Таким образом, при любом нечетном $n$ дробь можно сократить на 2.

2. Выясним, при каких $n$ числитель $3n+1$ делится на 5. Запишем условие делимости с помощью сравнения по модулю 5: $3n+1 \equiv 0 \pmod{5}$ $3n \equiv -1 \pmod{5}$ или $3n \equiv 4 \pmod{5}$ Чтобы найти $n$, умножим обе части сравнения на число, обратное к 3 по модулю 5. Таким числом является 2, так как $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$. $2 \times (3n) \equiv 2 \times 4 \pmod{5}$ $6n \equiv 8 \pmod{5}$ $n \equiv 3 \pmod{5}$ Это значит, что $n$ при делении на 5 должно давать в остатке 3. Например, $n = 3, 8, 13, \dots$. При таких значениях $n$ числитель делится на 5, и дробь можно сократить.

Дробь можно сократить, если выполняется хотя бы одно из двух условий: $n$ — нечетное, или $n$ дает остаток 3 при делении на 5. Проанализируем эти условия с точки зрения последней цифры числа $n$:

• Если $n$ нечетное, его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9. Во всех этих случаях дробь сократима на 2.
• Если $n$ четное, его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. В этом случае дробь не сокращается на 2. Проверим, для каких из них выполняется второе условие ($n \equiv 3 \pmod{5}$):
  • Последняя цифра 0: $n \equiv 0 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 2: $n \equiv 2 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 4: $n \equiv 4 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 6: $n \equiv 1 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 8: $n \equiv 3 \pmod{5}$ — подходит. В этом случае дробь сократима на 5.

Таким образом, дробь можно сократить при всех натуральных $n$, последняя цифра которых не 0, 2, 4 или 6.

Ответ: при всех натуральных $n$, последняя цифра которых не равна 0, 2, 4 или 6.

б) Чтобы дробь $\frac{5n+3}{4}$ можно было сократить, ее числитель $5n+3$ должен иметь общий делитель со знаменателем 4, больший 1. Делители числа 4, большие 1, — это 2 и 4. Значит, для сократимости дроби достаточно, чтобы числитель $5n+3$ был четным числом, то есть делился на 2.

Запишем это условие в виде сравнения по модулю 2: $5n+3 \equiv 0 \pmod{2}$ Так как $5 \equiv 1 \pmod{2}$ и $3 \equiv 1 \pmod{2}$, получаем: $n+1 \equiv 0 \pmod{2}$ $n \equiv -1 \pmod{2}$ или $n \equiv 1 \pmod{2}$ Это означает, что $n$ должно быть нечетным натуральным числом. Если $n$ — нечетное, то $5n$ — тоже нечетное, а сумма двух нечетных чисел ($5n$ и 3) — четное число. Следовательно, при любом нечетном $n$ числитель $5n+3$ будет делиться на 2, и дробь можно будет сократить.

Ответ: при любых нечетных натуральных значениях $n$.

в) Чтобы дробь $\frac{4n+2}{5}$ можно было сократить, ее числитель $4n+2$ и знаменатель 5 должны иметь общий делитель, больший 1. Так как знаменатель 5 — простое число, его единственный делитель, больший 1, это само число 5.

Следовательно, дробь можно сократить тогда и только тогда, когда числитель $4n+2$ делится на 5. Запишем это условие с помощью сравнения по модулю 5: $4n+2 \equiv 0 \pmod{5}$ $4n \equiv -2 \pmod{5}$ или $4n \equiv 3 \pmod{5}$ Чтобы найти $n$, умножим обе части сравнения на число, обратное к 4 по модулю 5. Таким числом является 4, так как $4 \times 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$. $4 \times (4n) \equiv 4 \times 3 \pmod{5}$ $16n \equiv 12 \pmod{5}$ $n \equiv 2 \pmod{5}$ Это означает, что натуральное число $n$ при делении на 5 должно давать в остатке 2. Такие числа можно записать формулой $n = 5k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$).

Ответ: при натуральных значениях $n$, которые при делении на 5 дают в остатке 2 (например, 2, 7, 12, 17, ...).