Номер 202, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. Дополнительные задания - номер 202, страница 56.

Условие.

202 Приведите дробь $\frac{a}{a^2 - b^2}$ к знаменателю:

а) $(a - b)(a + b)^2$;

б) $(a - b)^2(a + b)$;

в) $(a - b)^3(a + b)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сначала преобразуем знаменатель исходной дроби, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид: $\frac{a}{(a-b)(a+b)}$.

а) Приведем дробь к знаменателю $(a-b)(a+b)^2$.

Чтобы привести исходную дробь $\frac{a}{(a-b)(a+b)}$ к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} = a+b$.

Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(a+b)$:

$\frac{a \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b) \cdot (a+b)} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)^2} = \frac{a^2+ab}{(a-b)(a+b)^2}$.

Ответ: $\frac{a^2+ab}{(a-b)(a+b)^2}$.

б) Приведем дробь к знаменателю $(a-b)^2(a+b)$.

Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)^2(a+b)}{(a-b)(a+b)} = a-b$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(a-b)$:

$\frac{a \cdot (a-b)}{(a-b)(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{a(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a^2-ab}{(a-b)^2(a+b)}$.

Ответ: $\frac{a^2-ab}{(a-b)^2(a+b)}$.

в) Приведем дробь к знаменателю $(a-b)^3(a+b)$.

Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный:

$\frac{(a-b)^3(a+b)}{(a-b)(a+b)} = (a-b)^2$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $(a-b)^2$:

$\frac{a \cdot (a-b)^2}{(a-b)(a+b) \cdot (a-b)^2} = \frac{a(a^2-2ab+b^2)}{(a-b)^3(a+b)} = \frac{a^3-2a^2b+ab^2}{(a-b)^3(a+b)}$.

Ответ: $\frac{a^3-2a^2b+ab^2}{(a-b)^3(a+b)}$.