Номер 204, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 204, страница 56.

Условие.

204 Сократите дробь:

а) $ \frac{x^2 - y^2 + ax + ay}{a^2 + xy + ax - y^2} $;

Б) $ \frac{m^3 + m^2 - m - 1}{m^3 - m^2 - m + 1} $;

В) $ \frac{y^4 - 2y^2 + 1}{y^3 - y^2 - y + 1} $;

Г) $ \frac{p^3 + pq^2 - 2p^2q}{p^3 - pq^2} $;

Д) $ \frac{x^4 - y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4} $;

е) $ \frac{x^4 - y^4}{x^3 + xy^2 - x^2y - y^3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^2 - y^2 + ax + ay}{a^2 + xy + ax - y^2} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ x^2 - y^2 + ax + ay = (x^2 - y^2) + (ax + ay) $. Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель за скобки: $ (x-y)(x+y) + a(x+y) $. Теперь вынесем за скобки общий множитель $ (x+y) $: $ (x+y)(x-y+a) $.
В знаменателе также сгруппируем слагаемые: $ a^2 + xy + ax - y^2 = (a^2 - y^2) + (xy + ax) $. Применим формулу разности квадратов и вынесем общий множитель за скобки: $ (a-y)(a+y) + x(y+a) $. Теперь вынесем за скобки общий множитель $ (a+y) $: $ (a+y)(a-y+x) $.
Получаем дробь: $ \frac{(x+y)(x-y+a)}{(a+y)(a-y+x)} $. Сократим общий множитель $ (x-y+a) $.
Ответ: $ \frac{x+y}{a+y} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{m^3 + m^2 - m - 1}{m^3 - m^2 - m + 1} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.
Числитель: $ m^3 + m^2 - m - 1 = m^2(m+1) - 1(m+1) = (m+1)(m^2-1) $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (m+1)(m-1)(m+1) = (m+1)^2(m-1) $.
Знаменатель: $ m^3 - m^2 - m + 1 = m^2(m-1) - 1(m-1) = (m-1)(m^2-1) $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (m-1)(m-1)(m+1) = (m-1)^2(m+1) $.
Получаем дробь: $ \frac{(m+1)^2(m-1)}{(m-1)^2(m+1)} $. Сокращаем общие множители $ (m-1) $ и $ (m+1) $.
Ответ: $ \frac{m+1}{m-1} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{y^4 - 2y^2 + 1}{y^3 - y^2 - y + 1} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель $ y^4 - 2y^2 + 1 $ является полным квадратом разности: $ (y^2 - 1)^2 $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ ((y-1)(y+1))^2 = (y-1)^2(y+1)^2 $.
Знаменатель $ y^3 - y^2 - y + 1 $ разложим методом группировки: $ y^2(y-1) - (y-1) = (y-1)(y^2-1) $. Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (y-1)(y-1)(y+1) = (y-1)^2(y+1) $.
Получаем дробь: $ \frac{(y-1)^2(y+1)^2}{(y-1)^2(y+1)} $. Сокращаем общие множители $ (y-1)^2 $ и $ (y+1) $.
Ответ: $ y+1 $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{p^3 + pq^2 - 2p^2q}{p^3 - pq^2} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $ p $ за скобки и изменим порядок слагаемых: $ p(p^2 - 2pq + q^2) $. Выражение в скобках является квадратом разности: $ p(p-q)^2 $.
В знаменателе вынесем общий множитель $ p $ за скобки: $ p(p^2 - q^2) $. Применим формулу разности квадратов: $ p(p-q)(p+q) $.
Получаем дробь: $ \frac{p(p-q)^2}{p(p-q)(p+q)} $. Сокращаем общие множители $ p $ и $ (p-q) $.
Ответ: $ \frac{p-q}{p+q} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^4 - y^4}{x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель: $ x^4 - y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2) $.
Знаменатель: $ x^4 + 2x^3y + 2x^2y^2 + 2xy^3 + y^4 $. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $ (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (2x^3y + 2xy^3) $. Первое слагаемое это $ (x^2+y^2)^2 $, из второго вынесем $ 2xy $: $ (x^2+y^2)^2 + 2xy(x^2+y^2) $. Вынесем общий множитель $ (x^2+y^2) $: $ (x^2+y^2)(x^2+y^2+2xy) $. Выражение во второй скобке является квадратом суммы: $ (x^2+y^2)(x+y)^2 $.
Получаем дробь: $ \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x+y)^2} $. Сокращаем общие множители $ (x^2+y^2) $ и $ (x+y) $.
Ответ: $ \frac{x-y}{x+y} $

е) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^4 - y^4}{x^3 + xy^2 - x^2y - y^3} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель: $ x^4 - y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2) $.
Знаменатель: $ x^3 + xy^2 - x^2y - y^3 $. Сгруппируем слагаемые: $ (x^3 - x^2y) + (xy^2 - y^3) $. Вынесем общие множители из каждой группы: $ x^2(x-y) + y^2(x-y) $. Вынесем общий множитель $ (x-y) $: $ (x-y)(x^2+y^2) $.
Получаем дробь: $ \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x-y)(x^2+y^2)} $. Сокращаем общие множители $ (x-y) $ и $ (x^2+y^2) $.
Ответ: $ x+y $