Номер 205, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 205, страница 56.

Условие.

Упростите выражение (205–207).

205 а) $ \frac{a^2 + b^2}{a^3 - b^3} - \frac{2}{3a - 3b} $

б) $ \frac{2m^2}{m^3 + n^3} - \frac{m - n}{m^2 - mn + n^2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2 + b^2}{a^3 - b^3} - \frac{2}{3a - 3b} $, приведем дроби к общему знаменателю.
Сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби — это разность кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 3 за скобки: $ 3a - 3b = 3(a - b) $.
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} - \frac{2}{3(a - b)} $.
Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $ 3(a - b)(a^2 + ab + b^2) $.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на $ (a^2 + ab + b^2) $: $ \frac{3(a^2 + b^2)}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} - \frac{2(a^2 + ab + b^2)}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $ \frac{3(a^2 + b^2) - 2(a^2 + ab + b^2)}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{3a^2 + 3b^2 - 2a^2 - 2ab - 2b^2}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.
Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые: $ a^2 - 2ab + b^2 $.
Полученный числитель является формулой квадрата разности: $ (a - b)^2 $.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $ \frac{(a - b)^2}{3(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.
Сократим общий множитель $ (a - b) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{a - b}{3(a^2 + ab + b^2)} $.
Ответ: $ \frac{a - b}{3(a^2 + ab + b^2)} $.

б) Чтобы упростить выражение $ \frac{2m^2}{m^3 + n^3} - \frac{m - n}{m^2 - mn + n^2} $, приведем дроби к общему знаменателю.
Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу суммы кубов: $ m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2) $.
Выражение примет вид: $ \frac{2m^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{m - n}{m^2 - mn + n^2} $.
Наименьший общий знаменатель равен $ (m + n)(m^2 - mn + n^2) $.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (m + n) $: $ \frac{2m^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{(m - n)(m + n)}{(m^2 - mn + n^2)(m + n)} $.
Теперь выполним вычитание дробей: $ \frac{2m^2 - (m - n)(m + n)}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} $.
В числителе применим формулу разности квадратов $ (m - n)(m + n) = m^2 - n^2 $: $ \frac{2m^2 - (m^2 - n^2)}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} = \frac{2m^2 - m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} $.
Упростим числитель: $ \frac{m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} $.
Знаменатель можно свернуть обратно в сумму кубов: $ \frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} $.
Ответ: $ \frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} $.