Номер 206, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 206, страница 56.

Условие.

206 a) $ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(2 - x^2)^2} - \frac{2}{2 - x^2} $;Б) $ \frac{a - c}{a^2 + ac + c^2} - \frac{2}{c - a} - \frac{3c^2}{a^3 - c^3} $;В) $ \frac{a^2 - 9}{a - 1} \cdot \frac{a - a^4}{3 + a} \cdot \frac{1}{(3a - a^2)^2} $;Г) $ \frac{a^4 - b^4}{a^2 + ab + b^2} \cdot \frac{1}{(b - a)^3} : \frac{a^2 + b^2}{a^3 - b^3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное выражение: $ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(2 - x^2)^2} - \frac{2}{2 - x^2} $.

Заметим, что $ 2 - x^2 = -(x^2 - 2) $. Используем это для приведения знаменателей к общему виду.
$ (2 - x^2)^2 = (-(x^2 - 2))^2 = (x^2 - 2)^2 $.
$ \frac{2}{2 - x^2} = \frac{2}{-(x^2 - 2)} = -\frac{2}{x^2 - 2} $.

Подставим преобразованные дроби в исходное выражение:
$ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(x^2 - 2)^2} - (-\frac{2}{x^2 - 2}) = \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8}{(x^2 - 2)^2} + \frac{2}{x^2 - 2} $.

Общий знаменатель для этих дробей — $ (x^2 - 2)^3 $. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$ \frac{8}{(x^2 - 2)^3} + \frac{8(x^2 - 2)}{(x^2 - 2)^3} + \frac{2(x^2 - 2)^2}{(x^2 - 2)^3} $.

Сложим числители:
$ \frac{8 + 8(x^2 - 2) + 2(x^2 - 2)^2}{(x^2 - 2)^3} $.

Раскроем скобки в числителе:
$ (x^2-2)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 = x^4 - 4x^2 + 4 $.
$ 8 + 8x^2 - 16 + 2(x^4 - 4x^2 + 4) = 8 + 8x^2 - 16 + 2x^4 - 8x^2 + 8 $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ 2x^4 + (8x^2 - 8x^2) + (8 - 16 + 8) = 2x^4 $.

Таким образом, итоговое выражение равно:
$ \frac{2x^4}{(x^2 - 2)^3} $.

Ответ: $ \frac{2x^4}{(x^2 - 2)^3} $.

б)

Исходное выражение: $ \frac{a-c}{a^2+ac+c^2} - \frac{2}{c-a} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} $.

Разложим знаменатель $ a^3-c^3 $ по формуле разности кубов: $ a^3 - c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2) $.
Также заметим, что $ c-a = -(a-c) $.

Преобразуем выражение:
$ \frac{a-c}{a^2+ac+c^2} - \frac{2}{-(a-c)} - \frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} = \frac{a-c}{a^2+ac+c^2} + \frac{2}{a-c} - \frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} $.

Общий знаменатель — $ (a-c)(a^2+ac+c^2) = a^3-c^3 $. Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(a-c)(a-c)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} + \frac{2(a^2+ac+c^2)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} - \frac{3c^2}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} $.

Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{(a-c)^2 + 2(a^2+ac+c^2) - 3c^2}{a^3-c^3} $.

Раскроем скобки и упростим числитель:
$ (a^2 - 2ac + c^2) + (2a^2 + 2ac + 2c^2) - 3c^2 = a^2 - 2ac + c^2 + 2a^2 + 2ac + 2c^2 - 3c^2 $.
$ (a^2+2a^2) + (-2ac+2ac) + (c^2+2c^2-3c^2) = 3a^2 $.

Итоговое выражение:
$ \frac{3a^2}{a^3-c^3} $.

Ответ: $ \frac{3a^2}{a^3-c^3} $.

в)

Исходное выражение: $ \frac{a^2-9}{a-1} \cdot \frac{a-a^4}{3+a} \cdot \frac{1}{(3a-a^2)^2} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$ a^2-9 = (a-3)(a+3) $.
$ a-a^4 = a(1-a^3) = a(1-a)(1+a+a^2) = -a(a-1)(a^2+a+1) $.
$ (3a-a^2)^2 = (a(3-a))^2 = a^2(3-a)^2 = a^2(a-3)^2 $.

Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(a-3)(a+3)}{a-1} \cdot \frac{-a(a-1)(a^2+a+1)}{a+3} \cdot \frac{1}{a^2(a-3)^2} $.

Объединим все в одну дробь и сократим общие множители:
$ \frac{-(a-3)(a+3)a(a-1)(a^2+a+1)}{(a-1)(a+3)a^2(a-3)^2} $.

Сокращаем $ (a-3) $, $ (a+3) $, $ a $, $ (a-1) $:
В результате в числителе остается $ -(a^2+a+1) $, а в знаменателе $ a(a-3) $:
$ \frac{-(a^2+a+1)}{a(a-3)} = -\frac{a^2+a+1}{a(a-3)} $.

Ответ: $ -\frac{a^2+a+1}{a(a-3)} $.

г)

Исходное выражение: $ \frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{1}{(b-a)^3} : \frac{a^2+b^2}{a^3-b^3} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^4-b^4}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{1}{(b-a)^3} \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2} $.

Разложим на множители числители и знаменатели:
$ a^4-b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2) $.
$ (b-a)^3 = (-(a-b))^3 = -(a-b)^3 $.
$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2} \cdot \frac{1}{-(a-b)^3} \cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+b^2} $.

Объединим все в одну дробь и сократим общие множители:
$ \frac{(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)}{-(a-b)^3(a^2+b^2)(a^2+ab+b^2)} $.

В результате сокращения в числителе остается $ a+b $, а в знаменателе $ -(a-b) $:
$ \frac{a+b}{-(a-b)} = \frac{a+b}{b-a} $.

Ответ: $ \frac{a+b}{b-a} $.