Номер 211, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 211, страница 57.

Условие.

211 Упростите выражение:

a) $ \left(1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}\right) : \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right); $

б) $ \left(\frac{u}{v-z} + \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v^2-vz}\right) : \left(\frac{u}{v-z} - \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v^2-vz}\right). $

Совет. Запишите частное в виде дроби и затем воспользуйтесь основным свойством дроби.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Представим данное частное в виде дроби. Затем, чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на общий знаменатель $n^3$. Этот прием соответствует совету "воспользоваться основным свойством дроби".

$\frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{(1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}) \cdot n^3}{(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}) \cdot n^3} = \frac{n^3 - n^2 + n - 1}{n^3 + n^2 + n + 1}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби методом группировки слагаемых.

Числитель: $n^3 - n^2 + n - 1 = n^2(n - 1) + 1(n - 1) = (n^2 + 1)(n - 1)$.

Знаменатель: $n^3 + n^2 + n + 1 = n^2(n + 1) + 1(n + 1) = (n^2 + 1)(n + 1)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим на общий множитель $(n^2 + 1)$ (который не равен нулю ни при каких действительных $n$):

$\frac{(n^2 + 1)(n - 1)}{(n^2 + 1)(n + 1)} = \frac{n - 1}{n + 1}$

Ответ: $\frac{n - 1}{n + 1}$

б) Упростим поочередно выражения в скобках (делимое и делитель). Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $v^2 - vz = v(v-z)$, поэтому общий знаменатель равен $v(v-z)$.

Преобразуем делимое:

$\frac{u}{v-z} + \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v(v-z)} = \frac{u \cdot v + (v-z)^2 - uz}{v(v-z)} = \frac{uv + v^2 - 2vz + z^2 - uz}{v(v-z)}$

Разложим числитель на множители, сгруппировав слагаемые:

$(uv - uz) + (v^2 - 2vz + z^2) = u(v-z) + (v-z)^2 = (v-z)(u + v-z)$

В результате упрощения делимое равно: $\frac{(v-z)(u + v-z)}{v(v-z)} = \frac{u+v-z}{v}$.

Теперь преобразуем делитель:

$\frac{u}{v-z} - \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v(v-z)} = \frac{u \cdot v - (v-z)^2 - uz}{v(v-z)} = \frac{uv - (v^2 - 2vz + z^2) - uz}{v(v-z)}$

Разложим числитель на множители:

$(uv - uz) - (v^2 - 2vz + z^2) = u(v-z) - (v-z)^2 = (v-z)(u - (v-z)) = (v-z)(u - v + z)$

В результате упрощения делитель равен: $\frac{(v-z)(u - v + z)}{v(v-z)} = \frac{u - v + z}{v}$.

Осталось выполнить деление упрощенных выражений:

$\frac{u+v-z}{v} : \frac{u - v + z}{v} = \frac{u+v-z}{v} \cdot \frac{v}{u - v + z} = \frac{u+v-z}{u-v+z}$

Ответ: $\frac{u+v-z}{u-v+z}$