Номер 214, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 214, страница 57.

Условие.

214 Сравните числа $a^{-1}$ и $a^{-2}$, если известно, что:

а) $0 < a < 1$;

б) $a > 1$;

в) $-1 < a < 0$;

г) $a < -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сравнить числа $a^{-1}$ и $a^{-2}$, преобразуем их к виду дробей: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. По условию $0 < a < 1$. Так как $a$ — положительное число, мы можем умножить неравенство $a < 1$ на $a$, не меняя знака неравенства. Получим $a \cdot a < 1 \cdot a$, то есть $a^2 < a$. Поскольку $a$ и $a^2$ — положительные числа, то для обратных им величин будет справедливо противоположное неравенство: $\frac{1}{a^2} > \frac{1}{a}$. Таким образом, $a^{-2} > a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} < a^{-2}$.

б) По условию $a > 1$. Так как $a$ — положительное число, умножим неравенство $a > 1$ на $a$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, то есть $a^2 > a$. Поскольку $a$ и $a^2$ — положительные числа, для обратных величин будет выполняться неравенство с противоположным знаком: $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{a}$. Таким образом, $a^{-2} < a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} > a^{-2}$.

в) По условию $-1 < a < 0$, следовательно, $a$ — отрицательное число. Рассмотрим знаки выражений $a^{-1}$ и $a^{-2}$. $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Так как $a < 0$, то и $\frac{1}{a} < 0$. Значит, $a^{-1}$ — отрицательное число. $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Так как $a \ne 0$, то $a^2 > 0$. Следовательно, $\frac{1}{a^2} > 0$. Значит, $a^{-2}$ — положительное число. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $a^{-2} > a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} < a^{-2}$.

г) По условию $a < -1$, следовательно, $a$ — отрицательное число. Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. $a^{-1} = \frac{1}{a}$ будет отрицательным числом, так как $a < 0$. $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$ будет положительным числом, так как $a^2 > 0$. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $a^{-2} > a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} < a^{-2}$.