Номер 219, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 219, страница 58.

Условие.

219 а) Курьер доехал на велосипеде до почты и вернулся обратно другой дорогой, которая на $3 \text{ км}$ короче. До почты он ехал со скоростью $18 \text{ км/ч}$, а обратно — со скоростью $9 \text{ км/ч}$, и на весь путь у него ушло $3 \text{ ч}$. Найдите весь путь, который проделал курьер.

б) Из города в посёлок можно добраться по шоссе на автомобиле или по реке на катере. Путь по шоссе на $8 \text{ км}$ короче, чем по реке. Автомобиль доезжает до посёлка за $20 \text{ мин}$, а катер проходит расстояние от города до посёлка за $1 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. Скорость автомобиля на $39 \text{ км/ч}$ больше скорости катера. Определите расстояние от города до посёлка по шоссе и по реке.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Пусть расстояние от дома до почты равно $x$ км. Тогда обратный путь, который на 3 км короче, равен $(x - 3)$ км.

Время, затраченное на путь до почты, вычисляется по формуле $t = S/v$. При скорости 18 км/ч оно составило $t_1 = x/18$ часов.

Время, затраченное на обратный путь, при скорости 9 км/ч составило $t_2 = (x - 3)/9$ часов.

Общее время в пути равно 3 часам, поэтому мы можем составить уравнение:

$ \frac{x}{18} + \frac{x-3}{9} = 3 $

Чтобы решить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю 18:

$ \frac{x}{18} + \frac{2(x-3)}{18} = 3 $

Умножим обе части уравнения на 18:

$ x + 2(x - 3) = 54 $

Раскроем скобки и решим уравнение:

$ x + 2x - 6 = 54 $

$ 3x = 54 + 6 $

$ 3x = 60 $

$ x = 20 $

Итак, расстояние до почты составляет 20 км. Обратный путь равен $20 - 3 = 17$ км.

Весь путь, который проделал курьер, равен сумме расстояний туда и обратно:

$ 20 \text{ км} + 17 \text{ км} = 37 \text{ км} $

Ответ: 37 км.

б)

Пусть скорость катера равна $v$ км/ч. Тогда скорость автомобиля, которая на 39 км/ч больше, равна $(v + 39)$ км/ч.

Переведем время в пути в часы:

Время автомобиля: $t_{авт} = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Время катера: $t_{кат} = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1\frac{20}{60} \text{ ч} = 1\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч}$.

Теперь выразим расстояния по шоссе и по реке через скорость и время, используя формулу $S = v \cdot t$:

Расстояние по шоссе: $S_{шоссе} = (v + 39) \cdot \frac{1}{3}$ км.

Расстояние по реке: $S_{река} = v \cdot \frac{4}{3}$ км.

По условию, путь по шоссе на 8 км короче, чем по реке, то есть $S_{шоссе} = S_{река} - 8$. Составим уравнение:

$ \frac{v+39}{3} = \frac{4v}{3} - 8 $

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

$ v + 39 = 4v - 24 $

Сгруппируем переменные и константы:

$ 39 + 24 = 4v - v $

$ 63 = 3v $

$ v = \frac{63}{3} $

$ v = 21 $

Скорость катера равна 21 км/ч. Теперь можем найти расстояния:

Расстояние по реке: $S_{река} = 21 \cdot \frac{4}{3} = 7 \cdot 4 = 28$ км.

Расстояние по шоссе: $S_{шоссе} = 28 - 8 = 20$ км.

Ответ: расстояние по шоссе — 20 км, расстояние по реке — 28 км.