Номер 213, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 213, страница 57.

Условие.

213 Сравните числа $a^{-1}$ и $b^{-1}$, если известно, что:

a) $a > 0, b > 0, a > b;$

б) $a < 0, b < 0, a > b.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Требуется сравнить числа $a^{-1}$ и $b^{-1}$ при заданных условиях: $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$.
По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $b^{-1} = \frac{1}{b}$.
Чтобы сравнить два числа, можно найти их разность и определить ее знак. Рассмотрим разность $b^{-1} - a^{-1}$:
$b^{-1} - a^{-1} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$
Теперь проанализируем знак числителя и знаменателя полученной дроби, используя данные из условия.
1. Знаменатель: поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также будет положительным: $ab > 0$.
2. Числитель: по условию $a > b$, следовательно, разность $a - b$ будет положительной: $a - b > 0$.
Так как и числитель ($a - b$), и знаменатель ($ab$) являются положительными числами, то значение всей дроби также положительно:
$\frac{a - b}{ab} > 0$
Из этого следует, что $b^{-1} - a^{-1} > 0$, что равносильно неравенству $b^{-1} > a^{-1}$, или $a^{-1} < b^{-1}$.
Этот результат согласуется со свойством функции $y = \frac{1}{x}$, которая является убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. Поскольку $a > b$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.
Ответ: $a^{-1} < b^{-1}$.

б) Сравним числа $a^{-1}$ и $b^{-1}$ при условиях: $a < 0$, $b < 0$ и $a > b$.
Так же, как и в предыдущем пункте, рассмотрим разность $b^{-1} - a^{-1}$, которая равна $\frac{a - b}{ab}$.
Проанализируем знак числителя и знаменателя при новых условиях.
1. Знаменатель: поскольку $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab$ будет положительным (произведение двух отрицательных чисел положительно): $ab > 0$.
2. Числитель: по условию $a > b$, поэтому разность $a - b$ положительна: $a - b > 0$.
И числитель, и знаменатель дроби положительны, следовательно, вся дробь больше нуля:
$\frac{a - b}{ab} > 0$
Это означает, что $b^{-1} - a^{-1} > 0$, откуда следует, что $b^{-1} > a^{-1}$, или $a^{-1} < b^{-1}$.
Этот результат также можно объяснить свойством функции $y = \frac{1}{x}$, которая убывает и на промежутке $(-\infty; 0)$. Так как $a > b$, то и в этом случае $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.
Ответ: $a^{-1} < b^{-1}$.