Страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Совет. Найдите сумму первых двух слагаемых, прибавьте к ней третье слагаемое и т. д.

210 Упростите выражение:

а) $ \frac{u - \frac{u^2}{u+1}}{u - \frac{u}{u+1}} $

б) $ \frac{x - \frac{6x-9}{x}}{\frac{3}{x} - 1} $

В) $ \frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} + \frac{a-b}{a}} $

Г) $ \frac{\frac{x}{x-z} - \frac{y}{y-z}}{\frac{y}{x-z} - \frac{x}{y-z}} $

Д) $ 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{n-3}} $

е) $ \frac{n}{n - \frac{1}{1 - \frac{n}{1+n}}} $

Совет. а) Можно воспользоваться основным свойством дроби: умножить числитель и знаменатель данной дроби на $u+1$.

а) Для упрощения выражения $ \frac{u - \frac{u^2}{u+1}}{u - \frac{u}{u+1}} $ сначала преобразуем числитель и знаменатель основной дроби. Числитель: $ u - \frac{u^2}{u+1} = \frac{u(u+1) - u^2}{u+1} = \frac{u^2 + u - u^2}{u+1} = \frac{u}{u+1} $. Знаменатель: $ u - \frac{u}{u+1} = \frac{u(u+1) - u}{u+1} = \frac{u^2 + u - u}{u+1} = \frac{u^2}{u+1} $. Теперь выполним деление: $ \frac{\frac{u}{u+1}}{\frac{u^2}{u+1}} = \frac{u}{u+1} \cdot \frac{u+1}{u^2} = \frac{u}{u^2} = \frac{1}{u} $.
Ответ: $ \frac{1}{u} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{x - \frac{6x-9}{x}}{\frac{3}{x} - 1} $. Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $x$: $ x - \frac{6x-9}{x} = \frac{x^2 - (6x-9)}{x} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x} = \frac{(x-3)^2}{x} $. Упростим знаменатель: $ \frac{3}{x} - 1 = \frac{3-x}{x} $. Разделим полученные выражения: $ \frac{\frac{(x-3)^2}{x}}{\frac{3-x}{x}} = \frac{(x-3)^2}{x} \cdot \frac{x}{3-x} = \frac{(x-3)^2}{-(x-3)} = -(x-3) = 3-x $.
Ответ: $ 3-x $

в) Упростим выражение $ \frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} + \frac{a-b}{a}} $. Преобразуем числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю $a(a+b)$: $ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} $. Преобразуем знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю $a(a+b)$: $ \frac{a}{a+b} + \frac{a-b}{a} = \frac{a^2 + (a-b)(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2 + a^2-b^2}{a(a+b)} = \frac{2a^2-b^2}{a(a+b)} $. Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}{\frac{2a^2-b^2}{a(a+b)}} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{2a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{2a^2-b^2} $.
Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{2a^2-b^2} $

г) Дано выражение $ \frac{\frac{x}{x-z} - \frac{y}{y-z}}{\frac{y}{x-z} - \frac{x}{y-z}} $. Упростим числитель, общий знаменатель $(x-z)(y-z)$: $ \frac{x(y-z) - y(x-z)}{(x-z)(y-z)} = \frac{xy-xz-xy+yz}{(x-z)(y-z)} = \frac{yz-xz}{(x-z)(y-z)} = \frac{z(y-x)}{(x-z)(y-z)} $. Упростим знаменатель, общий знаменатель $(x-z)(y-z)$: $ \frac{y(y-z) - x(x-z)}{(x-z)(y-z)} = \frac{y^2-yz-x^2+xz}{(x-z)(y-z)} = \frac{(y^2-x^2) - (yz-xz)}{(x-z)(y-z)} = \frac{(y-x)(y+x) - z(y-x)}{(x-z)(y-z)} = \frac{(y-x)(x+y-z)}{(x-z)(y-z)} $. Выполним деление: $ \frac{\frac{z(y-x)}{(x-z)(y-z)}}{\frac{(y-x)(x+y-z)}{(x-z)(y-z)}} = \frac{z(y-x)}{(y-x)(x+y-z)} = \frac{z}{x+y-z} $.
Ответ: $ \frac{z}{x+y-z} $

д) Рассмотрим выражение $ 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{n-3}} $. Начнем упрощение с внутреннего знаменателя: $ 1 - \frac{1}{n-3} = \frac{n-3}{n-3} - \frac{1}{n-3} = \frac{n-3-1}{n-3} = \frac{n-4}{n-3} $. Подставим результат в исходное выражение: $ 1 - \frac{1}{\frac{n-4}{n-3}} = 1 - \frac{n-3}{n-4} $. Теперь приведем к общему знаменателю: $ \frac{n-4}{n-4} - \frac{n-3}{n-4} = \frac{(n-4)-(n-3)}{n-4} = \frac{n-4-n+3}{n-4} = \frac{-1}{n-4} = \frac{1}{4-n} $.
Ответ: $ \frac{1}{4-n} $

е) Упростим многоэтажную дробь $ \frac{n}{n - \frac{1}{1 - \frac{n}{1+n}}} $. Начнем с самого нижнего знаменателя: $ 1 - \frac{n}{1+n} = \frac{1+n}{1+n} - \frac{n}{1+n} = \frac{1+n-n}{1+n} = \frac{1}{1+n} $. Подставим это в знаменатель основной дроби: $ n - \frac{1}{\frac{1}{1+n}} = n - (1+n) = n-1-n = -1 $. Теперь все выражение равно $ \frac{n}{-1} = -n $.
Ответ: $ -n $

211 Упростите выражение:

a) $ \left(1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}\right) : \left(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right); $

б) $ \left(\frac{u}{v-z} + \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v^2-vz}\right) : \left(\frac{u}{v-z} - \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v^2-vz}\right). $

Совет. Запишите частное в виде дроби и затем воспользуйтесь основным свойством дроби.

а) Представим данное частное в виде дроби. Затем, чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на общий знаменатель $n^3$. Этот прием соответствует совету "воспользоваться основным свойством дроби".

$\frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{(1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}) \cdot n^3}{(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}) \cdot n^3} = \frac{n^3 - n^2 + n - 1}{n^3 + n^2 + n + 1}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби методом группировки слагаемых.

Числитель: $n^3 - n^2 + n - 1 = n^2(n - 1) + 1(n - 1) = (n^2 + 1)(n - 1)$.

Знаменатель: $n^3 + n^2 + n + 1 = n^2(n + 1) + 1(n + 1) = (n^2 + 1)(n + 1)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим на общий множитель $(n^2 + 1)$ (который не равен нулю ни при каких действительных $n$):

$\frac{(n^2 + 1)(n - 1)}{(n^2 + 1)(n + 1)} = \frac{n - 1}{n + 1}$

Ответ: $\frac{n - 1}{n + 1}$

б) Упростим поочередно выражения в скобках (делимое и делитель). Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $v^2 - vz = v(v-z)$, поэтому общий знаменатель равен $v(v-z)$.

Преобразуем делимое:

$\frac{u}{v-z} + \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v(v-z)} = \frac{u \cdot v + (v-z)^2 - uz}{v(v-z)} = \frac{uv + v^2 - 2vz + z^2 - uz}{v(v-z)}$

Разложим числитель на множители, сгруппировав слагаемые:

$(uv - uz) + (v^2 - 2vz + z^2) = u(v-z) + (v-z)^2 = (v-z)(u + v-z)$

В результате упрощения делимое равно: $\frac{(v-z)(u + v-z)}{v(v-z)} = \frac{u+v-z}{v}$.

Теперь преобразуем делитель:

$\frac{u}{v-z} - \frac{v-z}{v} - \frac{uz}{v(v-z)} = \frac{u \cdot v - (v-z)^2 - uz}{v(v-z)} = \frac{uv - (v^2 - 2vz + z^2) - uz}{v(v-z)}$

Разложим числитель на множители:

$(uv - uz) - (v^2 - 2vz + z^2) = u(v-z) - (v-z)^2 = (v-z)(u - (v-z)) = (v-z)(u - v + z)$

В результате упрощения делитель равен: $\frac{(v-z)(u - v + z)}{v(v-z)} = \frac{u - v + z}{v}$.

Осталось выполнить деление упрощенных выражений:

$\frac{u+v-z}{v} : \frac{u - v + z}{v} = \frac{u+v-z}{v} \cdot \frac{v}{u - v + z} = \frac{u+v-z}{u-v+z}$

Ответ: $\frac{u+v-z}{u-v+z}$

основным свойством дроби.

212 а) Дано: $x - \frac{x}{x+1} = y$. Выразите $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2}$ через $y$.

б) Дано: $x + \frac{x}{x-1} = y$. Выразите $x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2}$ через $y$.

а) Дано равенство $x - \frac{x}{x+1} = y$. Требуется выразить $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2}$ через $y$.

Для решения задачи возведем обе части исходного равенства в квадрат. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - \frac{x}{x+1})^2 = y^2$

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} + (\frac{x}{x+1})^2 = y^2$

$x^2 - \frac{2x^2}{x+1} + \frac{x^2}{(x+1)^2} = y^2$

Выразим из полученного уравнения искомую сумму квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = y^2 + \frac{2x^2}{x+1}$

Теперь вернемся к исходному равенству и упростим его левую часть, приведя к общему знаменателю:

$y = x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1) - x}{x+1} = \frac{x^2+x-x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$

Как видим, выражение $\frac{x^2}{x+1}$ равно $y$. Подставим это в наше уравнение для суммы квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = y^2 + 2(\frac{x^2}{x+1}) = y^2 + 2y$

Ответ: $y^2 + 2y$

б) Дано равенство $x + \frac{x}{x-1} = y$. Требуется выразить $x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2}$ через $y$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части данного равенства в квадрат. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x + \frac{x}{x-1})^2 = y^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x-1} + (\frac{x}{x-1})^2 = y^2$

$x^2 + \frac{2x^2}{x-1} + \frac{x^2}{(x-1)^2} = y^2$

Выразим из полученного уравнения искомую сумму квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2} = y^2 - \frac{2x^2}{x-1}$

Теперь упростим левую часть исходного равенства:

$y = x + \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1) + x}{x-1} = \frac{x^2-x+x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$

Выражение $\frac{x^2}{x-1}$ равно $y$. Подставим это в наше уравнение для суммы квадратов:

$x^2 + \frac{x^2}{(x-1)^2} = y^2 - 2(\frac{x^2}{x-1}) = y^2 - 2y$

Ответ: $y^2 - 2y$

213 Сравните числа $a^{-1}$ и $b^{-1}$, если известно, что:

a) $a > 0, b > 0, a > b;$

б) $a < 0, b < 0, a > b.$

а) Требуется сравнить числа $a^{-1}$ и $b^{-1}$ при заданных условиях: $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$.
По определению степени с отрицательным показателем, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $b^{-1} = \frac{1}{b}$.
Чтобы сравнить два числа, можно найти их разность и определить ее знак. Рассмотрим разность $b^{-1} - a^{-1}$:
$b^{-1} - a^{-1} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$
Теперь проанализируем знак числителя и знаменателя полученной дроби, используя данные из условия.
1. Знаменатель: поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также будет положительным: $ab > 0$.
2. Числитель: по условию $a > b$, следовательно, разность $a - b$ будет положительной: $a - b > 0$.
Так как и числитель ($a - b$), и знаменатель ($ab$) являются положительными числами, то значение всей дроби также положительно:
$\frac{a - b}{ab} > 0$
Из этого следует, что $b^{-1} - a^{-1} > 0$, что равносильно неравенству $b^{-1} > a^{-1}$, или $a^{-1} < b^{-1}$.
Этот результат согласуется со свойством функции $y = \frac{1}{x}$, которая является убывающей на промежутке $(0; +\infty)$. Поскольку $a > b$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.
Ответ: $a^{-1} < b^{-1}$.

б) Сравним числа $a^{-1}$ и $b^{-1}$ при условиях: $a < 0$, $b < 0$ и $a > b$.
Так же, как и в предыдущем пункте, рассмотрим разность $b^{-1} - a^{-1}$, которая равна $\frac{a - b}{ab}$.
Проанализируем знак числителя и знаменателя при новых условиях.
1. Знаменатель: поскольку $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab$ будет положительным (произведение двух отрицательных чисел положительно): $ab > 0$.
2. Числитель: по условию $a > b$, поэтому разность $a - b$ положительна: $a - b > 0$.
И числитель, и знаменатель дроби положительны, следовательно, вся дробь больше нуля:
$\frac{a - b}{ab} > 0$
Это означает, что $b^{-1} - a^{-1} > 0$, откуда следует, что $b^{-1} > a^{-1}$, или $a^{-1} < b^{-1}$.
Этот результат также можно объяснить свойством функции $y = \frac{1}{x}$, которая убывает и на промежутке $(-\infty; 0)$. Так как $a > b$, то и в этом случае $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.
Ответ: $a^{-1} < b^{-1}$.

214 Сравните числа $a^{-1}$ и $a^{-2}$, если известно, что:

а) $0 < a < 1$;

б) $a > 1$;

в) $-1 < a < 0$;

г) $a < -1$.

а) Чтобы сравнить числа $a^{-1}$ и $a^{-2}$, преобразуем их к виду дробей: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. По условию $0 < a < 1$. Так как $a$ — положительное число, мы можем умножить неравенство $a < 1$ на $a$, не меняя знака неравенства. Получим $a \cdot a < 1 \cdot a$, то есть $a^2 < a$. Поскольку $a$ и $a^2$ — положительные числа, то для обратных им величин будет справедливо противоположное неравенство: $\frac{1}{a^2} > \frac{1}{a}$. Таким образом, $a^{-2} > a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} < a^{-2}$.

б) По условию $a > 1$. Так как $a$ — положительное число, умножим неравенство $a > 1$ на $a$. Знак неравенства сохранится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, то есть $a^2 > a$. Поскольку $a$ и $a^2$ — положительные числа, для обратных величин будет выполняться неравенство с противоположным знаком: $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{a}$. Таким образом, $a^{-2} < a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} > a^{-2}$.

в) По условию $-1 < a < 0$, следовательно, $a$ — отрицательное число. Рассмотрим знаки выражений $a^{-1}$ и $a^{-2}$. $a^{-1} = \frac{1}{a}$. Так как $a < 0$, то и $\frac{1}{a} < 0$. Значит, $a^{-1}$ — отрицательное число. $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Так как $a \ne 0$, то $a^2 > 0$. Следовательно, $\frac{1}{a^2} > 0$. Значит, $a^{-2}$ — положительное число. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $a^{-2} > a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} < a^{-2}$.

г) По условию $a < -1$, следовательно, $a$ — отрицательное число. Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. $a^{-1} = \frac{1}{a}$ будет отрицательным числом, так как $a < 0$. $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$ будет положительным числом, так как $a^2 > 0$. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $a^{-2} > a^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} < a^{-2}$.

Упростите выражение (215–216).

215 а) $-$\frac{1}{2}$a^2b^3 \cdot \frac{3}{2}$a^{-2}b^{-3}$;

б) $10x^{-1}y^{-10} \cdot 0,05x^3y^{-10}$;

в) $(2m^{-3}n)^{-2} \cdot 8m^{-5}n$;

г) $3p^4q^{-3} \cdot (3pq^{-3})^{-1}$.

а) Чтобы упростить выражение $-\frac{1}{2}a^2b^3 \cdot \frac{3}{2}a^{-2}b^{-3}$, мы перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $-\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4}$.

Затем перемножим степени с основанием $a$: $a^2 \cdot a^{-2} = a^{2+(-2)} = a^0 = 1$.

Далее перемножим степени с основанием $b$: $b^3 \cdot b^{-3} = b^{3+(-3)} = b^0 = 1$.

Собираем все вместе: $-\frac{3}{4} \cdot 1 \cdot 1 = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$

б) Упростим выражение $10x^{-1}y^{-10} \cdot 0,05x^3y^{-10}$.

Перемножим коэффициенты: $10 \cdot 0,05 = 0,5$.

Перемножим степени с основанием $x$: $x^{-1} \cdot x^3 = x^{-1+3} = x^2$.

Перемножим степени с основанием $y$: $y^{-10} \cdot y^{-10} = y^{-10+(-10)} = y^{-20}$.

Объединяя результаты, получаем: $0,5x^2y^{-20}$.

Ответ: $0,5x^2y^{-20}$

в) Рассмотрим выражение $(2m^{-3}n)^{-2} \cdot 8m^{-5}n$.

Сначала упростим первую часть выражения, используя свойство степени произведения $(abc)^k = a^k b^k c^k$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2m^{-3}n)^{-2} = 2^{-2} \cdot (m^{-3})^{-2} \cdot n^{-2} = \frac{1}{2^2}m^{6}n^{-2} = \frac{1}{4}m^{6}n^{-2}$.

Теперь умножим результат на вторую часть выражения: $(\frac{1}{4}m^{6}n^{-2}) \cdot (8m^{-5}n)$.

Перемножим коэффициенты: $\frac{1}{4} \cdot 8 = 2$.

Перемножим степени с основанием $m$: $m^6 \cdot m^{-5} = m^{6-5} = m^1 = m$.

Перемножим степени с основанием $n$: $n^{-2} \cdot n^1 = n^{-2+1} = n^{-1}$.

Соединив все части, получаем: $2mn^{-1}$.

Ответ: $2mn^{-1}$

г) Упростим выражение $3p^4q^{-3} \cdot (3pq^{-3})^{-1}$.

Сначала раскроем скобки во втором множителе, применив свойство степени произведения $(abc)^k = a^k b^k c^k$:

$(3pq^{-3})^{-1} = 3^{-1} \cdot p^{-1} \cdot (q^{-3})^{-1} = \frac{1}{3}p^{-1}q^{3}$.

Теперь перемножим первый множитель на упрощенный второй:

$3p^4q^{-3} \cdot (\frac{1}{3}p^{-1}q^{3})$.

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

Коэффициенты: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Степени с основанием $p$: $p^4 \cdot p^{-1} = p^{4-1} = p^3$.

Степени с основанием $q$: $q^{-3} \cdot q^{3} = q^{-3+3} = q^0 = 1$.

Итоговый результат: $1 \cdot p^3 \cdot 1 = p^3$.

Ответ: $p^3$

216 а) $ \frac{2x^{-12}y^{12}}{5} \cdot \frac{10x^{13}}{y^{-12}} $

б) $ \frac{12m^{6}}{n^{-6}} \cdot \frac{3m^{-3}n^{-5}}{4} $

В) $ \frac{11a^{-4}}{b^{4}} \cdot \frac{b^{12}}{22a^{8}} $

Г) $ \frac{8p^{-8}}{q^{-10}} \cdot \frac{q^{-8}}{16q^{-9}} $

а)

Дано выражение: $\frac{2x^{-12}y^{12}}{5} \cdot \frac{10x^{13}}{y^{-12}}$

Для решения этого примера, перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{2x^{-12}y^{12} \cdot 10x^{13}}{5 \cdot y^{-12}}$

Теперь сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и выполним действия с ними. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^n \cdot a^m = a^{n+m}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$).

$\frac{2 \cdot 10}{5} \cdot x^{-12}x^{13} \cdot \frac{y^{12}}{y^{-12}} = 4 \cdot x^{-12+13} \cdot y^{12-(-12)} = 4 \cdot x^{1} \cdot y^{12+12} = 4xy^{24}$

Ответ: $4xy^{24}$

б)

Дано выражение: $\frac{12m^6}{n^{-6}} \cdot \frac{3m^{-3}n^{-5}}{4}$

Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{12m^6 \cdot 3m^{-3}n^{-5}}{n^{-6} \cdot 4}$

Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями и упростим:

$\frac{12 \cdot 3}{4} \cdot m^6m^{-3} \cdot \frac{n^{-5}}{n^{-6}} = 9 \cdot m^{6+(-3)} \cdot n^{-5-(-6)} = 9 \cdot m^3 \cdot n^{-5+6} = 9m^3n$

Ответ: $9m^3n$

в)

Дано выражение: $\frac{11a^{-4}}{b^4} \cdot \frac{b^{12}}{22a^8}$

Перемножим числители и знаменатели и сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

$\frac{11a^{-4}b^{12}}{22a^8b^4} = \frac{11}{22} \cdot \frac{a^{-4}}{a^8} \cdot \frac{b^{12}}{b^4}$

Теперь упростим каждую группу. Для отрицательной степени используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Коэффициенты: $\frac{11}{22} = \frac{1}{2}$.

Переменная $a$: $\frac{a^{-4}}{a^8} = a^{-4-8} = a^{-12} = \frac{1}{a^{12}}$.

Переменная $b$: $\frac{b^{12}}{b^4} = b^{12-4} = b^8$.

Собираем упрощенное выражение:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{12}} \cdot b^8 = \frac{b^8}{2a^{12}}$

Ответ: $\frac{b^8}{2a^{12}}$

г)

Дано выражение: $\frac{8p^{-8}}{q^{-10}} \cdot \frac{q^{-8}}{16q^{-9}}$

Перемножим дроби, умножая числители и знаменатели:

$\frac{8p^{-8} \cdot q^{-8}}{q^{-10} \cdot 16q^{-9}}$

Упростим знаменатель, сложив степени $q$:

$\frac{8p^{-8}q^{-8}}{16q^{-10+(-9)}} = \frac{8p^{-8}q^{-8}}{16q^{-19}}$

Теперь сгруппируем и упростим выражение, разделив коэффициенты и переменные:

$\frac{8}{16} \cdot p^{-8} \cdot \frac{q^{-8}}{q^{-19}} = \frac{1}{2} \cdot p^{-8} \cdot q^{-8-(-19)} = \frac{1}{2} \cdot p^{-8} \cdot q^{11} = \frac{q^{11}}{2p^8}$

Ответ: $\frac{q^{11}}{2p^8}$