Страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

11 Выразите из формулы $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$:

а) переменную $a$;

б) переменную $c$.

а) Чтобы выразить переменную a из исходной формулы $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$, необходимо сначала преобразовать правую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $\frac{1}{b}$ и $\frac{1}{c}$ является произведение $bc$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot c}{b \cdot c} - \frac{1 \cdot b}{c \cdot b} = \frac{c}{bc} - \frac{b}{bc}$

Теперь вычтем дроби в правой части:

$\frac{1}{a} = \frac{c - b}{bc}$

Чтобы найти a, мы можем воспользоваться свойством пропорции или просто "перевернуть" обе части уравнения (т.е. взять обратные величины для левой и правой частей).

$a = \frac{bc}{c - b}$

Ответ: $a = \frac{bc}{c - b}$

б) Чтобы выразить переменную c из формулы $\frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c}$, сначала изолируем слагаемое, содержащее c. Для этого перенесем $\frac{1}{c}$ в левую часть уравнения, а $\frac{1}{a}$ — в правую. При переносе через знак равенства знаки слагаемых меняются на противоположные.

$\frac{1}{c} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$

Теперь, как и в предыдущем пункте, приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Общим знаменателем для $\frac{1}{b}$ и $\frac{1}{a}$ является $ab$.

$\frac{1}{c} = \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab}$

Выполним вычитание:

$\frac{1}{c} = \frac{a - b}{ab}$

Наконец, "перевернем" обе части уравнения, чтобы найти c.

$c = \frac{ab}{a - b}$

Ответ: $c = \frac{ab}{a - b}$

12 Вычислите:

а) $8^{-2}$;

б) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

а)

Для вычисления выражения $8^{-2}$ используется свойство степени с отрицательным целым показателем. Это свойство гласит, что для любого ненулевого числа $a$ и целого положительного числа $n$ справедливо равенство: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применим это правило к заданному выражению:

$8^{-2} = \frac{1}{8^2}$

Теперь необходимо вычислить значение знаменателя, то есть возвести 8 в квадрат:

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

Подставив полученное значение обратно в дробь, получаем конечный результат:

$\frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$

б)

Для вычисления выражения $(\frac{2}{3})^{-3}$ используется свойство возведения дроби в отрицательную степень. Оно утверждает, что для любой дроби $\frac{a}{b}$ (где $a \neq 0$ и $b \neq 0$) и целого положительного числа $n$ выполняется равенство: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Используя это свойство, мы "переворачиваем" дробь и заменяем отрицательный показатель степени на положительный:

$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3$

Далее, чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби:

$(\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3}$

Вычислим значения числителя и знаменателя по отдельности:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Таким образом, итоговый результат:

$\frac{27}{8}$

Полученную неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $3\frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{27}{8}$

13 Представьте выражение в виде степени: $a^{-2} \cdot a^6$; $\frac{x^3}{x^5}$; $(c^{10})^{-3}$.

$a^{-2} \cdot a^6$

Для умножения степеней с одинаковым основанием необходимо сложить их показатели, оставив основание без изменений. Это свойство степеней записывается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$a^{-2} \cdot a^6 = a^{-2 + 6} = a^4$

Ответ: $a^4$

$\frac{x^3}{x^5}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основание остается прежним. Это свойство выражается формулой: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$\frac{x^3}{x^5} = x^{3-5} = x^{-2}$

Ответ: $x^{-2}$

$(c^{10})^{-3}$

При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются. Это свойство степеней можно записать в виде формулы: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Используя это свойство для нашего выражения, имеем:

$(c^{10})^{-3} = c^{10 \cdot (-3)} = c^{-30}$

Ответ: $c^{-30}$

14 Упростите выражение:

а) $\frac{a^{-12} \cdot a^{6}}{a^{7}}$

б) $\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}}$

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7} $, мы будем использовать свойства степеней. Сначала упростим числитель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $). Затем, для полученной дроби, применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $).

Шаг 1: Упрощение числителя.
$ a^{-12} \cdot a^6 = a^{-12+6} = a^{-6} $

Шаг 2: Деление.
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{a^{-6}}{a^7} $.
$ \frac{a^{-6}}{a^7} = a^{-6-7} = a^{-13} $

Ответ: $a^{-13}$

б)

Для упрощения выражения $ \frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}} $, мы также воспользуемся свойствами степеней. Сначала раскроем скобки в числителе, применив правило возведения произведения в степень ($ (ab)^n = a^n b^n $) и правило возведения степени в степень ($ (a^m)^n = a^{mn} $). После этого сгруппируем степени с одинаковыми основаниями (3 и x) и применим к ним правило деления степеней.

Шаг 1: Упрощение числителя.
$ (3x^{-2})^{-3} = 3^{-3} \cdot (x^{-2})^{-3} = 3^{-3} \cdot x^{(-2) \cdot (-3)} = 3^{-3}x^6 $

Шаг 2: Упрощение всей дроби.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{3^{-3}x^6}{3^{-2} \cdot x^{-1}} $
Теперь разделим степени с основанием 3 и степени с основанием x по отдельности:
$ \frac{3^{-3}}{3^{-2}} \cdot \frac{x^6}{x^{-1}} = 3^{-3 - (-2)} \cdot x^{6 - (-1)} = 3^{-3+2} \cdot x^{6+1} = 3^{-1} \cdot x^7 $

Шаг 3: Преобразование к виду без отрицательных степеней.
Используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:
$ 3^{-1}x^7 = \frac{1}{3}x^7 = \frac{x^7}{3} $

Ответ: $\frac{x^7}{3}$

15 Запишите в стандартном виде число:

а) $1.28 \times 10^6$;

б) $7.1 \times 10^{-6}$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, которое называется порядком числа.

а) 1 280 000
Чтобы представить число 1 280 000 в стандартном виде, нам нужно сделать так, чтобы запятая стояла после первой значащей цифры. В данном случае это цифра 1. Получаем число 1,28.
Теперь определим, на какую степень 10 нужно умножить 1,28, чтобы получить исходное число 1 280 000. Для этого посчитаем, на сколько знаков мы сдвинули запятую влево.
$1 \underbrace{280 000}_{6 \text{ знаков}}$
Запятая была сдвинута на 6 знаков влево, значит, число нужно умножить на $10^6$.
Таким образом, получаем: $1 280 000 = 1,28 \cdot 10^6$.
Ответ: $1,28 \cdot 10^6$.

б) 0,0000071
Чтобы представить число 0,0000071 в стандартном виде, также переместим запятую так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры. Это цифра 7. Получаем число 7,1.
Теперь определим, на какую степень 10 нужно умножить 7,1, чтобы получить исходное число 0,0000071. Для этого посчитаем, на сколько знаков мы сдвинули запятую вправо.
$0, \underbrace{000007}_{6 \text{ знаков}}1$
Запятая была сдвинута на 6 знаков вправо, значит, число нужно умножить на $10^{-6}$.
Таким образом, получаем: $0,0000071 = 7,1 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $7,1 \cdot 10^{-6}$.

16 Сравните:

а) $\frac{1,8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}}$ и 0,005;

б) $(1,4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7)$ и 0,003.

а) Для того чтобы сравнить $\frac{1.8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}}$ и $0.005$, сначала упростим первое выражение. Сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени десяти:
$\frac{1.8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}} = \frac{1.8}{9} \cdot \frac{10^9}{10^{11}}$.
Вычислим каждую часть. Частное коэффициентов:
$\frac{1.8}{9} = 0.2$.
Частное степеней (используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{10^9}{10^{11}} = 10^{9-11} = 10^{-2}$.
Перемножив результаты, получаем значение первого выражения:
$0.2 \cdot 10^{-2} = 0.2 \cdot 0.01 = 0.002$.
Теперь сравним полученное число $0.002$ с числом $0.005$.
Поскольку $2 < 5$, то $0.002 < 0.005$.
Следовательно, $\frac{1.8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}} < 0.005$.

Ответ: $\frac{1.8 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^{11}} < 0.005$.

б) Сравним $(1.4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7)$ и $0.003$.
Для этого сначала вычислим значение первого выражения. Перегруппируем множители для удобства вычислений:
$(1.4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7) = (1.4 \cdot 2) \cdot (10^{-10} \cdot 10^7)$.
Вычислим произведение числовых коэффициентов:
$1.4 \cdot 2 = 2.8$.
Вычислим произведение степеней десяти (используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$10^{-10} \cdot 10^7 = 10^{-10+7} = 10^{-3}$.
Таким образом, первое выражение равно $2.8 \cdot 10^{-3}$.
Теперь представим второе число, $0.003$, в стандартном виде (в виде произведения числа на степень десяти), чтобы упростить сравнение:
$0.003 = 3 \cdot 10^{-3}$.
Сравним $2.8 \cdot 10^{-3}$ и $3 \cdot 10^{-3}$. Так как показатели степени у $10$ одинаковы ($-3$), нам достаточно сравнить коэффициенты перед ними: $2.8$ и $3$.
Поскольку $2.8 < 3$, то и $2.8 \cdot 10^{-3} < 3 \cdot 10^{-3}$.
Следовательно, $(1.4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7) < 0.003$.

Ответ: $(1.4 \cdot 10^{-10})(2 \cdot 10^7) < 0.003$.

17 Решите уравнение

$\frac{x}{3} - \frac{2x-1}{4} = 1.$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.

Умножим обе части уравнения на 12:

$$ 12 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{2x - 1}{4} \right) = 12 \cdot 1 $$

Раскроем скобки в левой части:

$$ \frac{12x}{3} - \frac{12(2x - 1)}{4} = 12 $$

Сократим дроби:

$$ 4x - 3(2x - 1) = 12 $$

Теперь раскроем скобки в левой части. Обратите внимание, что знак минус перед тройкой меняет знаки внутри скобок при умножении:

$$ 4x - 3 \cdot 2x - 3 \cdot (-1) = 12 $$

$$ 4x - 6x + 3 = 12 $$

Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$$ -2x + 3 = 12 $$

Перенесем 3 из левой части в правую с противоположным знаком:

$$ -2x = 12 - 3 $$

$$ -2x = 9 $$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -2:

$$ x = \frac{9}{-2} $$

$$ x = -4.5 $$

Ответ: $-4.5$

18 Решите задачу:

«Турист вышел с турбазы и направился к железнодорожной станции со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через час с турбазы к станции пошёл второй турист со скоростью $5 \text{ км/ч}$. На станцию они пришли одновременно. Чему равно расстояние от турбазы до станции?»

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим решение через составление уравнения.

Пусть $S$ (в км) — это искомое расстояние от турбазы до железнодорожной станции.

Обозначим:

• $v_1 = 4$ км/ч — скорость первого туриста.
• $v_2 = 5$ км/ч — скорость второго туриста.

Время, которое потребовалось каждому туристу, чтобы дойти до станции, можно выразить через расстояние $S$ и их скорости. Формула времени: $t = S/v$.

Время в пути для первого туриста:

$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{4}$ часов.

Время в пути для второго туриста:

$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{5}$ часов.

Из условия задачи известно, что второй турист вышел на 1 час позже первого. Так как они прибыли на станцию одновременно, это означает, что первый турист был в пути на 1 час дольше, чем второй. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$t_1 - t_2 = 1$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{S}{4} - \frac{S}{5} = 1$

Теперь решим полученное уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 5 — это 20.

$\frac{5 \times S}{20} - \frac{4 \times S}{20} = 1$

$\frac{5S - 4S}{20} = 1$

$\frac{S}{20} = 1$

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на 20:

$S = 20$

Таким образом, расстояние от турбазы до станции составляет 20 км.

Проверка:

Найдем время в пути для каждого туриста, зная расстояние:

Время первого туриста: $t_1 = 20 \text{ км} / 4 \text{ км/ч} = 5$ часов.

Время второго туриста: $t_2 = 20 \text{ км} / 5 \text{ км/ч} = 4$ часа.

Разница во времени в пути составляет $5 - 4 = 1$ час, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: расстояние от турбазы до станции равно 20 км.

1 Найдите значение дроби $\frac{ab}{a-b}$ при $a = -1$, $b = 0.5$.

1
Чтобы найти значение дроби, подставим в нее заданные значения $a = -1$ и $b = 0.5$.

$\frac{ab}{a-b} = \frac{(-1) \cdot 0.5}{-1 - 0.5}$

Сначала вычислим значение числителя (произведение):
$(-1) \cdot 0.5 = -0.5$

Затем вычислим значение знаменателя (разность):
$-1 - 0.5 = -1.5$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в дробь:
$\frac{-0.5}{-1.5}$

При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{0.5}{1.5} = \frac{0.5 \cdot 10}{1.5 \cdot 10} = \frac{5}{15}$

Сократим полученную дробь на 5, разделив на это число и числитель, и знаменатель:
$\frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2 Для каждой дроби укажите множество допустимых значений переменной.

А) $\frac{x-3}{x-2}$ Б) $\frac{x+3}{x+2}$ В) $\frac{x-2}{x+3}$ Г) $\frac{x+2}{x-3}$

1) $x \neq -3$ 2) $x \neq -2$ 3) $x \neq 2$ 4) $x \neq 3$

Множество допустимых значений (ОДЗ) переменной для дроби — это все значения переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю, так как деление на ноль не определено.

А) Для дроби $\frac{x-3}{x-2}$

Найдем значение переменной $x$, при котором знаменатель $x-2$ обращается в ноль.

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Следовательно, множество допустимых значений для этой дроби — все числа, кроме 2. Это соответствует условию $x \neq 2$.

Ответ: 3

Б) Для дроби $\frac{x+3}{x+2}$

Найдем значение переменной $x$, при котором знаменатель $x+2$ обращается в ноль.

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Следовательно, множество допустимых значений для этой дроби — все числа, кроме -2. Это соответствует условию $x \neq -2$.

Ответ: 2

В) Для дроби $\frac{x-2}{x+3}$

Найдем значение переменной $x$, при котором знаменатель $x+3$ обращается в ноль.

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Следовательно, множество допустимых значений для этой дроби — все числа, кроме -3. Это соответствует условию $x \neq -3$.

Ответ: 1

Г) Для дроби $\frac{x+2}{x-3}$

Найдем значение переменной $x$, при котором знаменатель $x-3$ обращается в ноль.

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Следовательно, множество допустимых значений для этой дроби — все числа, кроме 3. Это соответствует условию $x \neq 3$.

Ответ: 4

3 Сократите дробь $\frac{a^2b - ab}{a^2b + ab^2}$.

Для того чтобы сократить дробь $\frac{a^2b - ab}{a^2b + ab^2}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и сократить их.

1. Разложим на множители числитель дроби. Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:

$a^2b - ab = ab \cdot a - ab \cdot 1 = ab(a-1)$

2. Разложим на множители знаменатель дроби. Также вынесем общий множитель $ab$ за скобки:

$a^2b + ab^2 = ab \cdot a + ab \cdot b = ab(a+b)$

3. Подставим полученные разложения обратно в дробь:

$\frac{a^2b - ab}{a^2b + ab^2} = \frac{ab(a-1)}{ab(a+b)}$

4. Теперь можно сократить дробь на общий множитель $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):

$\frac{\cancel{ab}(a-1)}{\cancel{ab}(a+b)} = \frac{a-1}{a+b}$

Ответ: $\frac{a-1}{a+b}$

4 Сократите дробь $\frac{a^2 - x^2}{ax - x^2}$.

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - x^2}{ax - x^2}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $a^2 - x^2$. Это формула разности квадратов: $a^2 - x^2 = (a-x)(a+x)$.

2. Разложим на множители знаменатель $ax - x^2$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ax - x^2 = x(a-x)$.

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{a^2 - x^2}{ax - x^2} = \frac{(a-x)(a+x)}{x(a-x)}$

4. В числителе и знаменателе есть общий множитель $(a-x)$, на который можно сократить дробь (при условии, что $a \neq x$).

$\frac{\cancel{(a-x)}(a+x)}{x\cancel{(a-x)}} = \frac{a+x}{x}$

Таким образом, после сокращения исходная дробь принимает вид $\frac{a+x}{x}$.

Ответ: $\frac{a+x}{x}$