Номер 14, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 14, страница 62.

Условие.

14 Упростите выражение:

а) $\frac{a^{-12} \cdot a^{6}}{a^{7}}$

б) $\frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{a^{-12} \cdot a^6}{a^7} $, мы будем использовать свойства степеней. Сначала упростим числитель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $). Затем, для полученной дроби, применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $).

Шаг 1: Упрощение числителя.
$ a^{-12} \cdot a^6 = a^{-12+6} = a^{-6} $

Шаг 2: Деление.
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{a^{-6}}{a^7} $.
$ \frac{a^{-6}}{a^7} = a^{-6-7} = a^{-13} $

Ответ: $a^{-13}$

б)

Для упрощения выражения $ \frac{(3x^{-2})^{-3}}{3^{-2} \cdot x^{-1}} $, мы также воспользуемся свойствами степеней. Сначала раскроем скобки в числителе, применив правило возведения произведения в степень ($ (ab)^n = a^n b^n $) и правило возведения степени в степень ($ (a^m)^n = a^{mn} $). После этого сгруппируем степени с одинаковыми основаниями (3 и x) и применим к ним правило деления степеней.

Шаг 1: Упрощение числителя.
$ (3x^{-2})^{-3} = 3^{-3} \cdot (x^{-2})^{-3} = 3^{-3} \cdot x^{(-2) \cdot (-3)} = 3^{-3}x^6 $

Шаг 2: Упрощение всей дроби.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{3^{-3}x^6}{3^{-2} \cdot x^{-1}} $
Теперь разделим степени с основанием 3 и степени с основанием x по отдельности:
$ \frac{3^{-3}}{3^{-2}} \cdot \frac{x^6}{x^{-1}} = 3^{-3 - (-2)} \cdot x^{6 - (-1)} = 3^{-3+2} \cdot x^{6+1} = 3^{-1} \cdot x^7 $

Шаг 3: Преобразование к виду без отрицательных степеней.
Используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем:
$ 3^{-1}x^7 = \frac{1}{3}x^7 = \frac{x^7}{3} $

Ответ: $\frac{x^7}{3}$