Номер 10, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 10, страница 61.

Условие.

10 Упростите выражение:

а) $ \frac{10}{a^2-4} - \frac{3}{a-2} + \frac{4}{a+2} $;

б) $ \left(\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b}\right) \cdot \frac{a-b}{ab} $;

В) $ \frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано выражение: $\frac{10}{a^2-4} - \frac{3}{a-2} + \frac{4}{a+2}$.

Чтобы упростить это выражение, нужно привести все дроби к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатель первой дроби на множители. Знаменатель $a^2-4$ является разностью квадратов: $a^2-4=(a-2)(a+2)$.

Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей — это $(a-2)(a+2)$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

• Первая дробь $\frac{10}{a^2-4}$ уже имеет нужный знаменатель.
• Вторую дробь $\frac{3}{a-2}$ домножим на $(a+2)$: $\frac{3(a+2)}{(a-2)(a+2)}$.
• Третью дробь $\frac{4}{a+2}$ домножим на $(a-2)$: $\frac{4(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.

Теперь выполним вычитание и сложение дробей:

$\frac{10}{(a-2)(a+2)} - \frac{3(a+2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{4(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{10 - 3(a+2) + 4(a-2)}{(a-2)(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$10 - 3(a+2) + 4(a-2) = 10 - 3a - 6 + 4a - 8 = (4a-3a) + (10-6-8) = a - 4$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$\frac{a-4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a-4}{a^2-4}$

Ответ: $\frac{a-4}{a^2-4}$.

---

б) Дано выражение: $\left(\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b}\right) \cdot \frac{a-b}{ab}$.

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$.

$\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$a(a+b) - a(a-b) = a^2 + ab - (a^2 - ab) = a^2 + ab - a^2 + ab = 2ab$

Результат в скобках: $\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$.

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{ab}$

Сократим общие множители $ab$ и $(a-b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{ab}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{ab}} = \frac{2}{a+b}$

Ответ: $\frac{2}{a+b}$.

---

в) Дано выражение: $\frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$.

В подобных заданиях на упрощение часто встречаются опечатки. Если решать данное выражение буквально, как $\frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} \cdot \frac{c+1}{8}$, то результат получается очень громоздким. Наиболее вероятно, что знак умножения `·` является опечаткой и должен быть знаком деления `:`. В этом случае выражение хорошо упрощается. Решим задачу при условии, что второй оператор — деление.

Выражение: $\frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление:

$\frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь. Также разложим на множители числитель $c^2+c = c(c+1)$:

$\frac{c(c+1)}{4} \cdot \frac{8}{c+1}$

Сокращаем общие множители $(c+1)$ и числа 4 и 8:

$\frac{c\cancel{(c+1)}}{\cancel{4}_1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{c+1}} = c \cdot 2 = 2c$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{2c}{c-3} - 2c$

Приведем к общему знаменателю $(c-3)$:

$\frac{2c}{c-3} - \frac{2c(c-3)}{c-3} = \frac{2c - 2c(c-3)}{c-3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$2c - (2c^2 - 6c) = 2c - 2c^2 + 6c = 8c - 2c^2$

Запишем итоговое выражение. Можно вынести общий множитель $2c$ в числителе за скобки:

$\frac{8c - 2c^2}{c-3} = \frac{2c(4-c)}{c-3}$

Ответ: $\frac{2c(4-c)}{c-3}$.