Номер 5, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 5, страница 61.

Условие.

5 Выполните действия:

a) $ \frac{x+1}{x-1} - \frac{1}{x-1}; $

б) $ \frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{2ab}{a+b}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.

Исходное выражение: $ \frac{x+1}{x-1} - \frac{1}{x-1} $

Поскольку знаменатели дробей одинаковы ($x-1$), объединяем числители под общим знаменателем:

$$ \frac{(x+1) - 1}{x-1} $$

Упрощаем числитель:

$$ \frac{x+1-1}{x-1} = \frac{x}{x-1} $$

Данное выражение имеет смысл при $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Ответ: $ \frac{x}{x-1} $

---

б) Чтобы выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Исходное выражение: $ \frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{2ab}{a+b} $

Знаменатели дробей одинаковы ($a+b$), поэтому складываем их числители:

$$ \frac{a^2+b^2+2ab}{a+b} $$

В числителе мы видим формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Применим эту формулу:

$$ \frac{(a+b)^2}{a+b} $$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии, что $a+b \neq 0$:

$$ \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} = a+b $$

Ответ: $a+b$