Номер 6, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 61.

Условие.

6 Выполните действия:

а) $ \frac{1}{2a} - \frac{1}{3a} $;

б) $ \frac{m}{m-n} + \frac{m}{m+n} $;

В) $ \frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x+y} $;

Г) $ \frac{5a}{a-5} + \frac{25}{5-a} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2a$ и $3a$ равен $6a$. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.

$\frac{1 \cdot 3}{2a \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3a \cdot 2} = \frac{3}{6a} - \frac{2}{6a}$

Теперь вычтем числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{3 - 2}{6a} = \frac{1}{6a}$

Ответ: $\frac{1}{6a}$

---

б) $\frac{m}{m-n} + \frac{m}{m+n}$

Общим знаменателем для данных дробей является произведение их знаменателей: $(m-n)(m+n)$, что по формуле разности квадратов равно $m^2 - n^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(m+n)$, для второй — $(m-n)$.

$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{m^2+mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2-mn}{m^2-n^2}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{m^2+mn + m^2-mn}{m^2-n^2} = \frac{2m^2}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{2m^2}{m^2-n^2}$

---

в) $\frac{4x}{x^2-y^2} - \frac{4}{x+y}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Выражение примет вид:

$\frac{4x}{(x-y)(x+y)} - \frac{4}{x+y}$

Общий знаменатель равен $(x-y)(x+y)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(x-y)$.

$\frac{4x}{(x-y)(x+y)} - \frac{4(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{4x - 4(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4x - 4x + 4y}{(x-y)(x+y)} = \frac{4y}{(x-y)(x+y)} = \frac{4y}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{4y}{x^2-y^2}$

---

г) $\frac{5a}{a-5} + \frac{25}{5-a}$

Заметим, что знаменатели дробей противоположны: $5-a = -(a-5)$. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби перед дробью, изменив знак операции на вычитание.

$\frac{5a}{a-5} + \frac{25}{-(a-5)} = \frac{5a}{a-5} - \frac{25}{a-5}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители:

$\frac{5a-25}{a-5}$

Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:

$\frac{5(a-5)}{a-5}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-5)$ (при условии, что $a \neq 5$):

$5$

Ответ: $5$