Номер 9, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 9, страница 61.

Условие.

9 Выполните деление:

а) $\frac{m+1}{m} : \frac{3m+3}{m};$

б) $\frac{x^2-xy}{y} : (x-y).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы выполнить деление одной дроби на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую). $$ \frac{m+1}{m} : \frac{3m+3}{m} = \frac{m+1}{m} \cdot \frac{m}{3m+3} $$

В числителе второй дроби вынесем общий множитель 3 за скобки: $$ 3m+3 = 3(m+1) $$

Теперь подставим это выражение обратно в нашу формулу и получим: $$ \frac{m+1}{m} \cdot \frac{m}{3(m+1)} $$

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Мы можем сократить $ (m+1) $ и $ m $. При этом следует учесть, что $ m \neq 0 $ и $ m+1 \neq 0 $ (т.е. $ m \neq -1 $). $$ \frac{\cancel{(m+1)}}{\cancel{m}} \cdot \frac{\cancel{m}}{3\cancel{(m+1)}} = \frac{1}{3} $$

Ответ: $ \frac{1}{3} $

б)

Представим выражение $ (x-y) $ в виде дроби со знаменателем 1: $ \frac{x-y}{1} $.

Теперь задача сводится к делению дробей. Для этого умножим первую дробь на перевернутую вторую: $$ \frac{x^2-xy}{y} : (x-y) = \frac{x^2-xy}{y} \cdot \frac{1}{x-y} $$

В числителе первой дроби $ x^2-xy $ вынесем общий множитель $ x $ за скобки: $$ x^2-xy = x(x-y) $$

Подставим полученное выражение в нашу формулу и перемножим дроби: $$ \frac{x(x-y)}{y} \cdot \frac{1}{x-y} = \frac{x(x-y)}{y(x-y)} $$

Сократим общий множитель $ (x-y) $ в числителе и знаменателе. При этом необходимо учесть, что $ y \neq 0 $ и $ x-y \neq 0 $ (т.е. $ x \neq y $). $$ \frac{x\cancel{(x-y)}}{y\cancel{(x-y)}} = \frac{x}{y} $$

Ответ: $ \frac{x}{y} $