Страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Найдите значение дроби при указанных значениях переменных:

а) $ \frac{ab}{a-b} $ при $ a = 0,5 $, $ b = 2; $

б) $ \frac{x^2-y^2}{x} $ при $ x = -10 $, $ y = -1. $

а) Для того чтобы найти значение дроби $\frac{ab}{a-b}$, подставим в нее указанные значения переменных $a = 0,5$ и $b = 2$.
Сначала вычислим значение числителя:
$ab = 0,5 \cdot 2 = 1$
Затем вычислим значение знаменателя:
$a - b = 0,5 - 2 = -1,5$
Теперь найдем значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{1}{-1,5} = \frac{1}{-\frac{3}{2}} = 1 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

б) Для того чтобы найти значение дроби $\frac{x^2 - y^2}{x}$, подставим в нее указанные значения переменных $x = -10$ и $y = -1$.
Сначала вычислим значение числителя, подставив значения $x$ и $y$:
$x^2 - y^2 = (-10)^2 - (-1)^2 = 100 - 1 = 99$
Значение знаменателя равно $x = -10$.
Теперь найдем значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{99}{-10} = -9,9$
Ответ: $-9,9$.

2 Укажите допустимые значения переменной для дроби:

а) $ \frac{m}{2m-5} $;

б) $ \frac{x-3}{x^2} $;

в) $ \frac{n^2-1}{10} $.

Допустимые значения переменной для дроби (или область определения выражения) – это все те значения, которые может принимать переменная, при которых выражение имеет смысл. Для дробей основное ограничение заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

а) Рассмотрим дробь $\frac{m}{2m-5}$.

Чтобы найти допустимые значения переменной $m$, необходимо исключить те значения, при которых знаменатель $2m-5$ обращается в ноль. Составим и решим уравнение:

$2m - 5 = 0$

Перенесем -5 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2m = 5$

Разделим обе части уравнения на 2:

$m = \frac{5}{2}$

$m = 2.5$

Следовательно, при $m = 2.5$ знаменатель дроби равен нулю. Это значение является недопустимым. Допустимыми являются все остальные действительные числа.

Ответ: $m \neq 2.5$ (или $m$ – любое число, кроме 2.5).

б) Рассмотрим дробь $\frac{x-3}{x^2}$.

Знаменатель дроби $x^2$ не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль, решив уравнение:

$x^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень:

$x = 0$

Следовательно, при $x = 0$ знаменатель дроби равен нулю. Это значение является недопустимым. Допустимыми являются все остальные действительные числа.

Ответ: $x \neq 0$ (или $x$ – любое число, кроме 0).

в) Рассмотрим дробь $\frac{n^2-1}{10}$.

Знаменатель этой дроби равен 10. Это постоянное число, которое не зависит от переменной $n$ и отлично от нуля ($10 \neq 0$).

Поскольку знаменатель никогда не может стать равным нулю, никаких ограничений на переменную $n$ не накладывается. Дробь имеет смысл при любом значении $n$.

Ответ: $n$ – любое число.

3 Выразите из физической формулы $\alpha = (n - 1)\Theta$:

а) переменную $\Theta$;

б) переменную $n$.

Дана физическая формула: $ \alpha = (n - 1)\Theta $

а) Чтобы выразить переменную $ \Theta $, нам нужно изолировать её в одной части уравнения. В данном уравнении $ \Theta $ является множителем, а $ (n-1) $ — другим множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($ \alpha $) разделить на известный множитель ($ (n-1) $). Для этого разделим обе части уравнения на $ (n - 1) $. Это действие возможно при условии, что $ n - 1 \neq 0 $, то есть $ n \neq 1 $.

$ \frac{\alpha}{n - 1} = \frac{(n - 1)\Theta}{n - 1} $

После сокращения дроби в правой части уравнения получаем:

$ \frac{\alpha}{n - 1} = \Theta $

Ответ: $ \Theta = \frac{\alpha}{n - 1} $

б) Чтобы выразить переменную $ n $, сначала изолируем выражение $ (n - 1) $. Для этого разделим обе части исходного уравнения на $ \Theta $. Это действие возможно при условии, что $ \Theta \neq 0 $.

$ \frac{\alpha}{\Theta} = \frac{(n - 1)\Theta}{\Theta} $

После сокращения дроби в правой части получаем:

$ \frac{\alpha}{\Theta} = n - 1 $

Теперь, чтобы найти $ n $, нужно перенести $ -1 $ из правой части в левую, изменив знак на противоположный (то есть прибавить 1 к обеим частям уравнения):

$ \frac{\alpha}{\Theta} + 1 = n - 1 + 1 $

После упрощения правой части получаем итоговое выражение для $ n $:

$ \frac{\alpha}{\Theta} + 1 = n $

Ответ: $ n = \frac{\alpha}{\Theta} + 1 $

4 Сократите дробь:

а) $\frac{16x^3 y}{20x^2 y^2}$;

В) $\frac{m^2 - n^2}{mn + n^2}$;

Д) $\frac{z - 1}{a - az}$.

Б) $\frac{a^2 - ab}{a^2}$;

Г) $\frac{c^2 + c}{c^2 - c}$;

а) Чтобы сократить дробь $\frac{16x^3y}{20x^2y^2}$, разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Сначала сократим числовые коэффициенты 16 и 20. Их наибольший общий делитель равен 4. Получаем $\frac{16 \div 4}{20 \div 4} = \frac{4}{5}$. Затем сократим переменные, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Для переменной $x$ имеем $\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x$. Для переменной $y$ имеем $\frac{y^1}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$. Собирая все вместе, получаем: $\frac{4x}{5y}$.
Ответ: $\frac{4x}{5y}$

б) В дроби $\frac{a^2-ab}{a^2}$ вынесем в числителе общий множитель $a$ за скобки: $a^2-ab = a(a-b)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{a(a-b)}{a^2}$. Сократим общий множитель $a$ в числителе и знаменателе. Так как $a^2 = a \cdot a$, получаем $\frac{\cancel{a}(a-b)}{\cancel{a} \cdot a} = \frac{a-b}{a}$.
Ответ: $\frac{a-b}{a}$

в) В дроби $\frac{m^2-n^2}{mn+n^2}$ разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $m^2-n^2$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, то есть $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. В знаменателе $mn+n^2$ вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n(m+n)$. Дробь принимает вид $\frac{(m-n)(m+n)}{n(m+n)}$. Сокращаем общий множитель $(m+n)$: $\frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{n\cancel{(m+n)}} = \frac{m-n}{n}$.
Ответ: $\frac{m-n}{n}$

г) В дроби $\frac{c^2+c}{c^2-c}$ вынесем в числителе общий множитель $c$: $c^2+c = c(c+1)$. В знаменателе также вынесем общий множитель $c$: $c^2-c = c(c-1)$. Дробь принимает вид $\frac{c(c+1)}{c(c-1)}$. Сокращаем общий множитель $c$: $\frac{\cancel{c}(c+1)}{\cancel{c}(c-1)} = \frac{c+1}{c-1}$.
Ответ: $\frac{c+1}{c-1}$

д) В дроби $\frac{z-1}{a-az}$ вынесем в знаменателе общий множитель $a$ за скобки: $a-az = a(1-z)$. Дробь примет вид $\frac{z-1}{a(1-z)}$. Заметим, что выражения в числителе $(z-1)$ и в скобках в знаменателе $(1-z)$ отличаются только знаком, так как $z-1 = -(-z+1) = -(1-z)$. Заменим числитель на $-(1-z)$: $\frac{-(1-z)}{a(1-z)}$. Теперь можно сократить общий множитель $(1-z)$: $\frac{-\cancel{(1-z)}}{a\cancel{(1-z)}} = -\frac{1}{a}$.
Ответ: $-\frac{1}{a}$

5 Выполните действия:

a) $ \frac{x+1}{x-1} - \frac{1}{x-1}; $

б) $ \frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{2ab}{a+b}. $

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.

Исходное выражение: $ \frac{x+1}{x-1} - \frac{1}{x-1} $

Поскольку знаменатели дробей одинаковы ($x-1$), объединяем числители под общим знаменателем:

$$ \frac{(x+1) - 1}{x-1} $$

Упрощаем числитель:

$$ \frac{x+1-1}{x-1} = \frac{x}{x-1} $$

Данное выражение имеет смысл при $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Ответ: $ \frac{x}{x-1} $

б) Чтобы выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Исходное выражение: $ \frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{2ab}{a+b} $

Знаменатели дробей одинаковы ($a+b$), поэтому складываем их числители:

$$ \frac{a^2+b^2+2ab}{a+b} $$

В числителе мы видим формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Применим эту формулу:

$$ \frac{(a+b)^2}{a+b} $$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии, что $a+b \neq 0$:

$$ \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} = a+b $$

Ответ: $a+b$

6 Выполните действия:

а) $ \frac{1}{2a} - \frac{1}{3a} $;

б) $ \frac{m}{m-n} + \frac{m}{m+n} $;

В) $ \frac{4x}{x^2 - y^2} - \frac{4}{x+y} $;

Г) $ \frac{5a}{a-5} + \frac{25}{5-a} $.

а) $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3a}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2a$ и $3a$ равен $6a$. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.

$\frac{1 \cdot 3}{2a \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3a \cdot 2} = \frac{3}{6a} - \frac{2}{6a}$

Теперь вычтем числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{3 - 2}{6a} = \frac{1}{6a}$

Ответ: $\frac{1}{6a}$

б) $\frac{m}{m-n} + \frac{m}{m+n}$

Общим знаменателем для данных дробей является произведение их знаменателей: $(m-n)(m+n)$, что по формуле разности квадратов равно $m^2 - n^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(m+n)$, для второй — $(m-n)$.

$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{m^2+mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2-mn}{m^2-n^2}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{m^2+mn + m^2-mn}{m^2-n^2} = \frac{2m^2}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{2m^2}{m^2-n^2}$

в) $\frac{4x}{x^2-y^2} - \frac{4}{x+y}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Выражение примет вид:

$\frac{4x}{(x-y)(x+y)} - \frac{4}{x+y}$

Общий знаменатель равен $(x-y)(x+y)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(x-y)$.

$\frac{4x}{(x-y)(x+y)} - \frac{4(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{4x - 4(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4x - 4x + 4y}{(x-y)(x+y)} = \frac{4y}{(x-y)(x+y)} = \frac{4y}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{4y}{x^2-y^2}$

г) $\frac{5a}{a-5} + \frac{25}{5-a}$

Заметим, что знаменатели дробей противоположны: $5-a = -(a-5)$. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби перед дробью, изменив знак операции на вычитание.

$\frac{5a}{a-5} + \frac{25}{-(a-5)} = \frac{5a}{a-5} - \frac{25}{a-5}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители:

$\frac{5a-25}{a-5}$

Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:

$\frac{5(a-5)}{a-5}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-5)$ (при условии, что $a \neq 5$):

$5$

Ответ: $5$

7 Представьте выражение в виде дроби:

а) $\frac{3b}{a-b} + 3;$

б) $2c - \frac{bc-6}{b}.$

а) Чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель равен $a-b$.

1. Представим число $3$ как дробь со знаменателем $a-b$. Для этого умножим и разделим $3$ на $(a-b)$:
$3 = \frac{3 \cdot (a-b)}{a-b} = \frac{3a-3b}{a-b}$

2. Теперь сложим полученную дробь с исходной:
$\frac{3b}{a-b} + 3 = \frac{3b}{a-b} + \frac{3a-3b}{a-b}$

3. Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{3b + (3a-3b)}{a-b} = \frac{3b + 3a - 3b}{a-b}$

4. Упростим выражение в числителе:
$3b + 3a - 3b = 3a$

5. В результате получаем дробь:
$\frac{3a}{a-b}$

Ответ: $\frac{3a}{a-b}$

б) Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем его части к общему знаменателю, который в данном случае равен $b$.

1. Представим $2c$ как дробь со знаменателем $b$:
$2c = \frac{2c \cdot b}{b} = \frac{2bc}{b}$

2. Теперь выполним вычитание дробей:
$2c - \frac{bc-6}{b} = \frac{2bc}{b} - \frac{bc-6}{b}$

3. Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему ее числителю, поэтому числитель второй дроби нужно взять в скобки:
$\frac{2bc - (bc-6)}{b}$

4. Раскроем скобки в числителе, изменив знаки на противоположные:
$\frac{2bc - bc + 6}{b}$

5. Упростим выражение в числителе:
$2bc - bc + 6 = bc + 6$

6. В результате получаем дробь:
$\frac{bc+6}{b}$

Ответ: $\frac{bc+6}{b}$

8 Выполните умножение:

a) $\frac{x^2 y}{2z} \cdot \frac{z^2}{2xy}$;

б) $\frac{4b}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a+b}{2b}$;

В) $2ac \cdot \frac{3c}{4a^2}$.

а) Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.
$\frac{x^2y}{2z} \cdot \frac{z^2}{2xy} = \frac{x^2y \cdot z^2}{2z \cdot 2xy}$
Объединим множители в числителе и знаменателе:
$\frac{x^2yz^2}{4xyz}$
Теперь сократим дробь на общие множители. Сокращаем на $x$, $y$ и $z$:
$\frac{x^{2-1}y^{1-1}z^{2-1}}{4} = \frac{x^1y^0z^1}{4} = \frac{xz}{4}$
Ответ: $\frac{xz}{4}$

б) В этом примере в знаменателе первой дроби находится формула разности квадратов $a^2 - b^2$, которую можно разложить на множители $(a-b)(a+b)$.
$\frac{4b}{a^2-b^2} \cdot \frac{a+b}{2b} = \frac{4b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{2b}$
Теперь перемножим числители и знаменатели:
$\frac{4b \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b) \cdot 2b}$
Сократим общие множители. В числителе и знаменателе есть $(a+b)$ и $b$. Также можно сократить числовые коэффициенты $4$ и $2$.
$\frac{2 \cdot 2 \cdot b \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b) \cdot 2 \cdot b} = \frac{2}{a-b}$
Ответ: $\frac{2}{a-b}$

в) Чтобы умножить целое выражение на дробь, нужно представить это выражение в виде дроби со знаменателем 1.
$2ac \cdot \frac{3c}{4a^2} = \frac{2ac}{1} \cdot \frac{3c}{4a^2}$
Перемножим числители и знаменатели:
$\frac{2ac \cdot 3c}{1 \cdot 4a^2} = \frac{6ac^2}{4a^2}$
Теперь сократим полученную дробь. Коэффициенты $6$ и $4$ сокращаются на $2$. Переменная $a$ в числителе сокращается с $a^2$ в знаменателе.
$\frac{3 \cdot 2 \cdot a \cdot c^2}{2 \cdot 2 \cdot a \cdot a} = \frac{3c^2}{2a}$
Ответ: $\frac{3c^2}{2a}$

9 Выполните деление:

а) $\frac{m+1}{m} : \frac{3m+3}{m};$

б) $\frac{x^2-xy}{y} : (x-y).$

а)

Чтобы выполнить деление одной дроби на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую). $$ \frac{m+1}{m} : \frac{3m+3}{m} = \frac{m+1}{m} \cdot \frac{m}{3m+3} $$

В числителе второй дроби вынесем общий множитель 3 за скобки: $$ 3m+3 = 3(m+1) $$

Теперь подставим это выражение обратно в нашу формулу и получим: $$ \frac{m+1}{m} \cdot \frac{m}{3(m+1)} $$

Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Мы можем сократить $ (m+1) $ и $ m $. При этом следует учесть, что $ m \neq 0 $ и $ m+1 \neq 0 $ (т.е. $ m \neq -1 $). $$ \frac{\cancel{(m+1)}}{\cancel{m}} \cdot \frac{\cancel{m}}{3\cancel{(m+1)}} = \frac{1}{3} $$

Ответ: $ \frac{1}{3} $

б)

Представим выражение $ (x-y) $ в виде дроби со знаменателем 1: $ \frac{x-y}{1} $.

Теперь задача сводится к делению дробей. Для этого умножим первую дробь на перевернутую вторую: $$ \frac{x^2-xy}{y} : (x-y) = \frac{x^2-xy}{y} \cdot \frac{1}{x-y} $$

В числителе первой дроби $ x^2-xy $ вынесем общий множитель $ x $ за скобки: $$ x^2-xy = x(x-y) $$

Подставим полученное выражение в нашу формулу и перемножим дроби: $$ \frac{x(x-y)}{y} \cdot \frac{1}{x-y} = \frac{x(x-y)}{y(x-y)} $$

Сократим общий множитель $ (x-y) $ в числителе и знаменателе. При этом необходимо учесть, что $ y \neq 0 $ и $ x-y \neq 0 $ (т.е. $ x \neq y $). $$ \frac{x\cancel{(x-y)}}{y\cancel{(x-y)}} = \frac{x}{y} $$

Ответ: $ \frac{x}{y} $

10 Упростите выражение:

а) $ \frac{10}{a^2-4} - \frac{3}{a-2} + \frac{4}{a+2} $;

б) $ \left(\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b}\right) \cdot \frac{a-b}{ab} $;

В) $ \frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8} $.

а) Дано выражение: $\frac{10}{a^2-4} - \frac{3}{a-2} + \frac{4}{a+2}$.

Чтобы упростить это выражение, нужно привести все дроби к общему знаменателю. Для этого сначала разложим знаменатель первой дроби на множители. Знаменатель $a^2-4$ является разностью квадратов: $a^2-4=(a-2)(a+2)$.

Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей — это $(a-2)(a+2)$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

• Первая дробь $\frac{10}{a^2-4}$ уже имеет нужный знаменатель.
• Вторую дробь $\frac{3}{a-2}$ домножим на $(a+2)$: $\frac{3(a+2)}{(a-2)(a+2)}$.
• Третью дробь $\frac{4}{a+2}$ домножим на $(a-2)$: $\frac{4(a-2)}{(a-2)(a+2)}$.

Теперь выполним вычитание и сложение дробей:

$\frac{10}{(a-2)(a+2)} - \frac{3(a+2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{4(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{10 - 3(a+2) + 4(a-2)}{(a-2)(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$10 - 3(a+2) + 4(a-2) = 10 - 3a - 6 + 4a - 8 = (4a-3a) + (10-6-8) = a - 4$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$\frac{a-4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a-4}{a^2-4}$

Ответ: $\frac{a-4}{a^2-4}$.

б) Дано выражение: $\left(\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b}\right) \cdot \frac{a-b}{ab}$.

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$.

$\frac{a}{a-b} - \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a+b) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе:

$a(a+b) - a(a-b) = a^2 + ab - (a^2 - ab) = a^2 + ab - a^2 + ab = 2ab$

Результат в скобках: $\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}$.

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{ab}$

Сократим общие множители $ab$ и $(a-b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{ab}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{ab}} = \frac{2}{a+b}$

Ответ: $\frac{2}{a+b}$.

в) Дано выражение: $\frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$.

В подобных заданиях на упрощение часто встречаются опечатки. Если решать данное выражение буквально, как $\frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} \cdot \frac{c+1}{8}$, то результат получается очень громоздким. Наиболее вероятно, что знак умножения `·` является опечаткой и должен быть знаком деления `:`. В этом случае выражение хорошо упрощается. Решим задачу при условии, что второй оператор — деление.

Выражение: $\frac{2c}{c-3} - \frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$.

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление:

$\frac{c^2+c}{4} : \frac{c+1}{8}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь. Также разложим на множители числитель $c^2+c = c(c+1)$:

$\frac{c(c+1)}{4} \cdot \frac{8}{c+1}$

Сокращаем общие множители $(c+1)$ и числа 4 и 8:

$\frac{c\cancel{(c+1)}}{\cancel{4}_1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{c+1}} = c \cdot 2 = 2c$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{2c}{c-3} - 2c$

Приведем к общему знаменателю $(c-3)$:

$\frac{2c}{c-3} - \frac{2c(c-3)}{c-3} = \frac{2c - 2c(c-3)}{c-3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$2c - (2c^2 - 6c) = 2c - 2c^2 + 6c = 8c - 2c^2$

Запишем итоговое выражение. Можно вынести общий множитель $2c$ в числителе за скобки:

$\frac{8c - 2c^2}{c-3} = \frac{2c(4-c)}{c-3}$

Ответ: $\frac{2c(4-c)}{c-3}$.