Страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

233 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Известно, что $\sqrt{x} = m$. Какое равенство верно?

1) $x^2 = m^2$

2) $x = \sqrt{m}$

3) $x^2 = m$

4) $x = m^2$

Нам дано исходное равенство $\sqrt{x} = m$. Наша задача — определить, какое из предложенных равенств является его следствием.

По определению арифметического квадратного корня, равенство $\sqrt{a} = b$ означает, что $b$ — это такое неотрицательное число ($b \ge 0$), квадрат которого равен $a$. То есть, $b^2 = a$.

Применим это определение к нашему уравнению. В данном случае $a=x$ и $b=m$. Таким образом, из равенства $\sqrt{x} = m$ следует, что $m^2 = x$. Это можно также получить, возведя обе части исходного равенства в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = m^2$

$x = m^2$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

1) $x^2 = m^2$

Это равенство в общем случае неверно. Мы знаем, что $m^2 = x$. Если подставить это в проверяемое равенство, получим $x^2 = x$. Это уравнение верно только при $x=0$ или $x=1$, но не для всех возможных значений $x$. Например, если $x=9$, то $m=\sqrt{9}=3$. Тогда $x^2 = 9^2 = 81$, а $m^2 = 3^2 = 9$. Равенство $81 = 9$ не является верным.

2) $x = \sqrt{m}$

Это равенство в общем случае неверно. Мы установили, что $x = m^2$. Равенство $m^2 = \sqrt{m}$ верно не для всех $m$. Например, если $x=16$, то $m=\sqrt{16}=4$. Подставим эти значения в проверяемое равенство: $16 = \sqrt{4}$, что равносильно $16 = 2$. Это неверно.

3) $x^2 = m$

Это равенство в общем случае неверно. Подставим $m = \sqrt{x}$ в проверяемое равенство: $x^2 = \sqrt{x}$. Это уравнение верно не для всех $x$. Например, если $x=4$, то $m=2$. Подставим эти значения: $4^2 = 2$, что равносильно $16 = 2$. Это неверно.

4) $x = m^2$

Это равенство верно. Как было показано выше, оно напрямую следует из определения арифметического квадратного корня. Если возвести обе части исходного равенства $\sqrt{x} = m$ в квадрат, мы получим $(\sqrt{x})^2 = m^2$, что и дает $x = m^2$. Это верно для любых $x$ и $m$, удовлетворяющих исходному условию.

Ответ: Верным является равенство 4) $x = m^2$.

234 Вычислите:

а) $\sqrt{17^2}$;

б) $\sqrt{21^2}$;

в) $\sqrt{23,8^2}$;

г) $\sqrt{12,56^2}$.

а) Для вычисления данного выражения используется основное свойство арифметического квадратного корня. Оно гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство: $\sqrt{a^2} = a$. В данном случае подкоренное выражение — это $17^2$. Так как число 17 является неотрицательным ($17 \ge 0$), мы можем применить это свойство. Таким образом, операция извлечения корня "уничтожает" операцию возведения в квадрат.
$\sqrt{17^2} = 17$.
Ответ: 17

б) Аналогично предыдущему примеру, мы вычисляем корень из квадрата числа. Применяем то же свойство $\sqrt{a^2} = a$ для $a \ge 0$.
В этом случае $a = 21$. Поскольку число 21 неотрицательное, получаем:
$\sqrt{21^2} = 21$.
Ответ: 21

в) Данное свойство $\sqrt{a^2} = a$ при $a \ge 0$ применимо не только к целым, но и к дробным числам.
В выражении $\sqrt{23,8^2}$ основание степени $a = 23,8$. Это число является неотрицательным.
Следовательно, результатом будет само это число:
$\sqrt{23,8^2} = 23,8$.
Ответ: 23,8

г) В последнем примере $\sqrt{12,56^2}$ используется тот же самый принцип. Операции извлечения квадратного корня и возведения в квадрат для неотрицательных чисел являются взаимно обратными.
Так как $a = 12,56$ и $12,56 \ge 0$, то:
$\sqrt{12,56^2} = 12,56$.
Ответ: 12,56

235 Вычислите:

а) $\sqrt{90000}$;

б) $\sqrt{22500}$;

в) $\sqrt{32400}$;

г) $\sqrt{2560000}$;

д) $\sqrt{4000000}$;

е) $\sqrt{16000000}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt{90000}$, представим подкоренное выражение $90000$ как произведение двух чисел, из которых легко извлечь квадратный корень. Число $90000$ можно записать как $9 \times 10000$. Тогда, используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получим:
$\sqrt{90000} = \sqrt{9 \times 10000} = \sqrt{9} \times \sqrt{10000}$.
Мы знаем, что $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{10000} = 100$ (поскольку $100^2 = 10000$).
Следовательно, $\sqrt{90000} = 3 \times 100 = 300$.
Ответ: 300

б) Для вычисления $\sqrt{22500}$ представим число $22500$ в виде произведения $225 \times 100$.
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{22500} = \sqrt{225 \times 100} = \sqrt{225} \times \sqrt{100}$.
Квадратный корень из $225$ равен $15$ (поскольку $15^2 = 225$), а квадратный корень из $100$ равен $10$.
Таким образом, $\sqrt{22500} = 15 \times 10 = 150$.
Ответ: 150

в) Вычислим $\sqrt{32400}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $32400 = 324 \times 100$.
Воспользуемся свойством $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{32400} = \sqrt{324 \times 100} = \sqrt{324} \times \sqrt{100}$.
Так как $18^2 = 324$, то $\sqrt{324} = 18$. Квадратный корень из $100$ равен $10$.
В результате получаем: $\sqrt{32400} = 18 \times 10 = 180$.
Ответ: 180

г) Для вычисления $\sqrt{2560000}$ представим число $2560000$ как $256 \times 10000$.
Используя свойство корня из произведения, имеем:
$\sqrt{2560000} = \sqrt{256 \times 10000} = \sqrt{256} \times \sqrt{10000}$.
Мы знаем, что $\sqrt{256} = 16$ (поскольку $16^2 = 256$) и $\sqrt{10000} = 100$.
Перемножив результаты, получим: $\sqrt{2560000} = 16 \times 100 = 1600$.
Ответ: 1600

д) Вычислим $\sqrt{4000000}$. Представим подкоренное выражение в виде произведения: $4000000 = 4 \times 1000000$.
Применим свойство корня:
$\sqrt{4000000} = \sqrt{4 \times 1000000} = \sqrt{4} \times \sqrt{1000000}$.
Квадратный корень из $4$ равен $2$. Квадратный корень из $1000000$ равен $1000$ (поскольку $1000^2 = 1000000$).
Следовательно, $\sqrt{4000000} = 2 \times 1000 = 2000$.
Ответ: 2000

е) Для вычисления $\sqrt{16000000}$ разложим число $16000000$ на множители $16$ и $1000000$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{16000000} = \sqrt{16 \times 1000000} = \sqrt{16} \times \sqrt{1000000}$.
Известно, что $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{1000000} = 1000$.
В итоге получаем: $\sqrt{16000000} = 4 \times 1000 = 4000$.
Ответ: 4000

236 Вычислите:

a) $\sqrt{25} + \sqrt{16}$;

в) $\sqrt{17 + 4 \cdot 8}$;

д) $\sqrt{9^2 - 17}$;

б) $\sqrt{81} - \sqrt{36}$;

г) $\sqrt{5^2 + 11}$;

е) $\sqrt{13^2 - 12^2}$.

Совет. Воспользуйтесь образцом, данным во фрагменте 3.

а) $\sqrt{25} + \sqrt{16}$
Для решения этого примера необходимо сначала извлечь квадратные корни из каждого числа, а затем сложить полученные результаты.
$\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.
$\sqrt{16} = 4$, так как $4^2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9$.
Ответ: 9

б) $\sqrt{81} - \sqrt{36}$
Аналогично предыдущему примеру, сначала находим значения квадратных корней, а затем выполняем вычитание.
$\sqrt{81} = 9$, так как $9^2 = 81$.
$\sqrt{36} = 6$, так как $6^2 = 36$.
Следовательно, $\sqrt{81} - \sqrt{36} = 9 - 6 = 3$.
Ответ: 3

в) $\sqrt{17 + 4 \cdot 8}$
В этом выражении сначала нужно выполнить все действия под знаком корня, соблюдая их порядок: сначала умножение, затем сложение.
1. Умножение: $4 \cdot 8 = 32$.
2. Сложение: $17 + 32 = 49$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{49}$.
3. Извлечение корня: $\sqrt{49} = 7$.
Таким образом, $\sqrt{17 + 4 \cdot 8} = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

г) $\sqrt{5^2 + 11}$
Сначала выполняем действия под знаком корня: сначала возведение в степень, затем сложение.
1. Возведение в степень: $5^2 = 25$.
2. Сложение: $25 + 11 = 36$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{36}$.
3. Извлечение корня: $\sqrt{36} = 6$.
Таким образом, $\sqrt{5^2 + 11} = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6

д) $\sqrt{9^2 - 17}$
Сначала выполняем действия под знаком корня: сначала возведение в степень, затем вычитание.
1. Возведение в степень: $9^2 = 81$.
2. Вычитание: $81 - 17 = 64$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{64}$.
3. Извлечение корня: $\sqrt{64} = 8$.
Таким образом, $\sqrt{9^2 - 17} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8

е) $\sqrt{13^2 - 12^2}$
Подкоренное выражение представляет собой разность квадратов. Можно использовать формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для упрощения вычислений.
Подставим наши значения $a=13$ и $b=12$:
$13^2 - 12^2 = (13 - 12)(13 + 12) = 1 \cdot 25 = 25$.
Теперь извлечем корень из полученного результата:
$\sqrt{25} = 5$.
Альтернативный способ — прямое вычисление:
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

237 Найдите значение выражения при $a = 100$ и $b = 81$:

а) $a\sqrt{b}$;

б) $b\sqrt{a}$;

в) $\sqrt{ab}$;

г) $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$.

а) Чтобы найти значение выражения $a\sqrt{b}$ при $a = 100$ и $b = 81$, подставим данные значения в выражение:

$100 \cdot \sqrt{81}$

Сначала вычислим квадратный корень из 81:

$\sqrt{81} = 9$

Теперь умножим 100 на полученное значение:

$100 \cdot 9 = 900$

Ответ: 900

б) Чтобы найти значение выражения $b\sqrt{a}$ при $a = 100$ и $b = 81$, подставим данные значения в выражение:

$81 \cdot \sqrt{100}$

Сначала вычислим квадратный корень из 100:

$\sqrt{100} = 10$

Теперь умножим 81 на полученное значение:

$81 \cdot 10 = 810$

Ответ: 810

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{ab}$ при $a = 100$ и $b = 81$, подставим данные значения в выражение:

$\sqrt{100 \cdot 81}$

Сначала выполним умножение под корнем:

$100 \cdot 81 = 8100$

Теперь вычислим квадратный корень из 8100:

$\sqrt{8100} = 90$

Ответ: 90

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a = 100$ и $b = 81$, подставим данные значения в выражение:

$\sqrt{100} \cdot \sqrt{81}$

Вычислим каждый квадратный корень по отдельности:

$\sqrt{100} = 10$

$\sqrt{81} = 9$

Теперь перемножим полученные значения:

$10 \cdot 9 = 90$

Ответ: 90

238 Найдите значение каждого из выражений

$a + \sqrt{b}$, $\sqrt{a + b}$, $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, $\sqrt{a + b}$:

а) при $a = 16$ и $b = 9$;

б) при $a = 2,25$ и $b = 0,64$.

а) Вычислим значения каждого из выражений при $a=16$ и $b=9$:

Для выражения $a + \sqrt{b}$:

$a + \sqrt{b} = 16 + \sqrt{9} = 16 + 3 = 19$

Для выражения $\sqrt{a} + b$:

$\sqrt{a} + b = \sqrt{16} + 9 = 4 + 9 = 13$

Для выражения $\sqrt{a} + \sqrt{b}$:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$

Для выражения $\sqrt{a+b}$:

$\sqrt{a+b} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 19; 13; 7; 5.

б) Вычислим значения каждого из выражений при $a=2,25$ и $b=0,64$:

Для выражения $a + \sqrt{b}$:

$a + \sqrt{b} = 2,25 + \sqrt{0,64} = 2,25 + 0,8 = 3,05$

Для выражения $\sqrt{a} + b$:

$\sqrt{a} + b = \sqrt{2,25} + 0,64 = 1,5 + 0,64 = 2,14$

Для выражения $\sqrt{a} + \sqrt{b}$:

$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{2,25} + \sqrt{0,64} = 1,5 + 0,8 = 2,3$

Для выражения $\sqrt{a+b}$:

$\sqrt{a+b} = \sqrt{2,25+0,64} = \sqrt{2,89} = 1,7$

Ответ: 3,05; 2,14; 2,3; 1,7.

239 Найдите значение выражения при $a = 9; 1; \frac{1}{4}$:

а) $a + \sqrt{a}$;

б) $a - \sqrt{a}$;

в) $a\sqrt{a}$;

г) $\frac{a}{\sqrt{a}}$.

а) Для выражения $a + \sqrt{a}$ найдем его значения при заданных $a$.
Если $a = 9$, то $a + \sqrt{a} = 9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12$.
Если $a = 1$, то $a + \sqrt{a} = 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.
Если $a = \frac{1}{4}$, то $a + \sqrt{a} = \frac{1}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $12$; $2$; $\frac{3}{4}$.

б) Для выражения $a - \sqrt{a}$ найдем его значения при заданных $a$.
Если $a = 9$, то $a - \sqrt{a} = 9 - \sqrt{9} = 9 - 3 = 6$.
Если $a = 1$, то $a - \sqrt{a} = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$.
Если $a = \frac{1}{4}$, то $a - \sqrt{a} = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1-2}{4} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $6$; $0$; $-\frac{1}{4}$.

в) Для выражения $a\sqrt{a}$ найдем его значения при заданных $a$.
Если $a = 9$, то $a\sqrt{a} = 9 \cdot \sqrt{9} = 9 \cdot 3 = 27$.
Если $a = 1$, то $a\sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{1} = 1 \cdot 1 = 1$.
Если $a = \frac{1}{4}$, то $a\sqrt{a} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $27$; $1$; $\frac{1}{8}$.

г) Для выражения $\frac{a}{\sqrt{a}}$ найдем его значения при заданных $a$.
Предварительно упростим выражение, учитывая, что $a > 0$: $\frac{a}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$.
Если $a = 9$, то $\sqrt{a} = \sqrt{9} = 3$.
Если $a = 1$, то $\sqrt{a} = \sqrt{1} = 1$.
Если $a = \frac{1}{4}$, то $\sqrt{a} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $3$; $1$; $\frac{1}{2}$.

240 Найдите значения выражений:

а) $\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2}$, $\sqrt{x^2+y^2}$ и $\sqrt{(x+y)^2}$ при $x=5, y=12$;

б) $\sqrt{x^2} - \sqrt{y^2}$, $\sqrt{x^2-y^2}$ и $\sqrt{(x-y)^2}$ при $x=25, y=24$.

а) Найдем значения выражений при $x=5$ и $y=12$.

Для выражения $\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2}$:
Подставляем значения $x$ и $y$: $\sqrt{5^2} + \sqrt{12^2}$.
Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, и поскольку $x$ и $y$ положительны, получаем: $5 + 12 = 17$.
Ответ: 17

Для выражения $\sqrt{x^2 + y^2}$:
Подставляем значения $x$ и $y$: $\sqrt{5^2 + 12^2}$.
Выполняем действия под корнем: $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$.
Извлекаем квадратный корень: $\sqrt{169} = 13$.
Ответ: 13

Для выражения $\sqrt{(x+y)^2}$:
Подставляем значения $x$ и $y$: $\sqrt{(5+12)^2}$.
Выполняем сложение в скобках: $\sqrt{17^2}$.
Так как $5+12=17$ (положительное число), то $\sqrt{17^2} = 17$.
Ответ: 17

б) Найдем значения выражений при $x=25$ и $y=24$.

Для выражения $\sqrt{x^2} - \sqrt{y^2}$:
Подставляем значения $x$ и $y$: $\sqrt{25^2} - \sqrt{24^2}$.
Поскольку $x$ и $y$ положительны, $\sqrt{25^2}=25$ и $\sqrt{24^2}=24$.
Вычисляем разность: $25 - 24 = 1$.
Ответ: 1

Для выражения $\sqrt{x^2 - y^2}$:
Подставляем значения $x$ и $y$: $\sqrt{25^2 - 24^2}$.
Выполняем действия под корнем: $\sqrt{625 - 576} = \sqrt{49}$.
Извлекаем квадратный корень: $\sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

Для выражения $\sqrt{(x-y)^2}$:
Подставляем значения $x$ и $y$: $\sqrt{(25-24)^2}$.
Выполняем вычитание в скобках: $\sqrt{1^2}$.
Вычисляем значение: $\sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1

241 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $\sqrt{4-3x}$ при $x=-7; -4; 0; 1;$

б) $\sqrt{\frac{x+y}{2}}$ при $x=50$ и $y=22$; $x=0$ и $y=2.$

а)

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{4-3x}$, необходимо подставить в него поочередно заданные значения переменной $x$.

• При $x = -7$:

  $\sqrt{4 - 3 \cdot (-7)} = \sqrt{4 + 21} = \sqrt{25} = 5$.

• При $x = -4$:

  $\sqrt{4 - 3 \cdot (-4)} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

• При $x = 0$:

  $\sqrt{4 - 3 \cdot 0} = \sqrt{4 - 0} = \sqrt{4} = 2$.

• При $x = 1$:

  $\sqrt{4 - 3 \cdot 1} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: при $x=-7$ значение выражения равно 5; при $x=-4$ — 4; при $x=0$ — 2; при $x=1$ — 1.

б)

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{x+y}{2}}$, необходимо подставить в него заданные пары значений переменных $x$ и $y$.

• При $x = 50$ и $y = 22$:

  $\sqrt{\frac{50 + 22}{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$.

• При $x = 0$ и $y = 2$:

  $\sqrt{\frac{0 + 2}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: при $x=50$ и $y=22$ значение выражения равно 6; при $x=0$ и $y=2$ значение выражения равно 1.

б) $\sqrt{\frac{x+y}{2}}$ при $x=50$ и $y=22$; $x=0$ и $y=2$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (242–243)

242 Площадь $S$ поверхности куба с ребром $a$ (рис. 2.1) вычисляется по формуле $S=6a^2$.

Выразите из этой формулы ребро куба $a$.

Вычислите ребро куба, если известно, что:

a) $S=150$ см$^2$;

б) $S=13,5$ дм$^2$;

в) $S=0,96$ м$^2$.

Рис. 2.1

Площадь поверхности куба $S$ с ребром $a$ вычисляется по формуле $S = 6a^2$.

Для того чтобы выразить ребро куба $a$ из этой формулы, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования:

1. Разделим обе части уравнения на 6, чтобы выделить $a^2$:

$\frac{S}{6} = \frac{6a^2}{6}$

$a^2 = \frac{S}{6}$

2. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина ребра $a$ является положительной величиной, мы берем только арифметический (положительный) корень:

$\sqrt{a^2} = \sqrt{\frac{S}{6}}$

$a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Таким образом, мы выразили ребро куба $a$ через площадь его поверхности $S$.

Теперь вычислим ребро куба для заданных значений площади поверхности, используя полученную формулу $a = \sqrt{\frac{S}{6}}$.

а) При $S = 150 \text{ см}^2$:

Подставляем значение $S$ в формулу:

$a = \sqrt{\frac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5$

Ребро куба равно 5 см.

Ответ: $5 \text{ см}$.

б) При $S = 13,5 \text{ дм}^2$:

Подставляем значение $S$ в формулу:

$a = \sqrt{\frac{13,5}{6}} = \sqrt{2,25} = 1,5$

Ребро куба равно 1,5 дм.

Ответ: $1,5 \text{ дм}$.

в) При $S = 0,96 \text{ м}^2$:

Подставляем значение $S$ в формулу:

$a = \sqrt{\frac{0,96}{6}} = \sqrt{0,16} = 0,4$

Ребро куба равно 0,4 м.

Ответ: $0,4 \text{ м}$.