Номер 233, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Задача о нахождении стороны квадрата. Глава 2. Квадратные корни - номер 233, страница 67.

Условие.

233 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Известно, что $\sqrt{x} = m$. Какое равенство верно?

1) $x^2 = m^2$

2) $x = \sqrt{m}$

3) $x^2 = m$

4) $x = m^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Нам дано исходное равенство $\sqrt{x} = m$. Наша задача — определить, какое из предложенных равенств является его следствием.

По определению арифметического квадратного корня, равенство $\sqrt{a} = b$ означает, что $b$ — это такое неотрицательное число ($b \ge 0$), квадрат которого равен $a$. То есть, $b^2 = a$.

Применим это определение к нашему уравнению. В данном случае $a=x$ и $b=m$. Таким образом, из равенства $\sqrt{x} = m$ следует, что $m^2 = x$. Это можно также получить, возведя обе части исходного равенства в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = m^2$

$x = m^2$

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

1) $x^2 = m^2$

Это равенство в общем случае неверно. Мы знаем, что $m^2 = x$. Если подставить это в проверяемое равенство, получим $x^2 = x$. Это уравнение верно только при $x=0$ или $x=1$, но не для всех возможных значений $x$. Например, если $x=9$, то $m=\sqrt{9}=3$. Тогда $x^2 = 9^2 = 81$, а $m^2 = 3^2 = 9$. Равенство $81 = 9$ не является верным.

2) $x = \sqrt{m}$

Это равенство в общем случае неверно. Мы установили, что $x = m^2$. Равенство $m^2 = \sqrt{m}$ верно не для всех $m$. Например, если $x=16$, то $m=\sqrt{16}=4$. Подставим эти значения в проверяемое равенство: $16 = \sqrt{4}$, что равносильно $16 = 2$. Это неверно.

3) $x^2 = m$

Это равенство в общем случае неверно. Подставим $m = \sqrt{x}$ в проверяемое равенство: $x^2 = \sqrt{x}$. Это уравнение верно не для всех $x$. Например, если $x=4$, то $m=2$. Подставим эти значения: $4^2 = 2$, что равносильно $16 = 2$. Это неверно.

4) $x = m^2$

Это равенство верно. Как было показано выше, оно напрямую следует из определения арифметического квадратного корня. Если возвести обе части исходного равенства $\sqrt{x} = m$ в квадрат, мы получим $(\sqrt{x})^2 = m^2$, что и дает $x = m^2$. Это верно для любых $x$ и $m$, удовлетворяющих исходному условию.

Ответ: Верным является равенство 4) $x = m^2$.