Страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

247 Укажите, рациональным или иррациональным является число:

а) $ \sqrt{5} $;

б) $ \sqrt{25} $;

в) $ \sqrt{37} $;

г) $ 2\sqrt{16} $;

д) $ \frac{1}{2}\sqrt{49} $.

а) Чтобы определить, является ли число $\sqrt{5}$ рациональным или иррациональным, необходимо проверить, является ли подкоренное выражение (5) полным квадратом целого числа. Поскольку не существует целого числа, квадрат которого равен 5 (так как $2^2=4$, а $3^2=9$), то $\sqrt{5}$ является бесконечной непериодической десятичной дробью. Следовательно, это иррациональное число.
Ответ: иррациональное.

б) Рассмотрим число $\sqrt{25}$. Число 25 является полным квадратом числа 5, так как $5^2=25$. Таким образом, $\sqrt{25} = 5$. Число 5 является целым, а любое целое число является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (например, $\frac{5}{1}$).
Ответ: рациональное.

в) Рассмотрим число $\sqrt{37}$. Число 37 не является полным квадратом какого-либо целого числа (так как $6^2=36$, а $7^2=49$). Это означает, что корень из 37 нельзя представить в виде простой дроби. Следовательно, $\sqrt{37}$ является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

г) Рассмотрим выражение $2\sqrt{16}$. Сначала вычислим значение корня: $\sqrt{16}=4$, поскольку $4^2=16$. Затем выполним умножение: $2 \times 4 = 8$. Результат, число 8, является целым, а значит, и рациональным числом.
Ответ: рациональное.

д) Рассмотрим выражение $\frac{1}{2}\sqrt{49}$. Сначала вычислим значение корня: $\sqrt{49}=7$, так как $7^2=49$. Затем выполним умножение: $\frac{1}{2} \times 7 = \frac{7}{2}$. Полученное число $\frac{7}{2}$ является отношением двух целых чисел, что по определению является рациональным числом.
Ответ: рациональное.

248 a) Квадратом какого положительного числа является число:

4; 8; 25; 29; $a$ ($a > 0$)?

б) Представьте в виде квадрата некоторого числа все натуральные числа от 11 до 20.

а)
Чтобы определить, квадратом какого положительного числа является данное число, необходимо найти его арифметический квадратный корень. Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $x$ – это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Так как в условии требуется найти положительное число, а все данные числа положительны, их корень также будет положительным.
- Для числа 4: искомое положительное число – это $\sqrt{4} = 2$.
- Для числа 8: искомое положительное число – это $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
- Для числа 25: искомое положительное число – это $\sqrt{25} = 5$.
- Для числа 29: искомое положительное число – это $\sqrt{29}$. Корень не упрощается, так как 29 является простым числом.
- Для числа $a$ (при $a > 0$): искомое положительное число – это $\sqrt{a}$.
Ответ: 2; $2\sqrt{2}$; 5; $\sqrt{29}$; $\sqrt{a}$.

б)
Чтобы представить любое натуральное число $n$ в виде квадрата некоторого числа, можно использовать тождество $n = (\sqrt{n})^2$. Представим все натуральные числа от 11 до 20 в этом виде, упрощая подкоренное выражение там, где это возможно.
$11 = (\sqrt{11})^2$
$12 = (\sqrt{12})^2 = (\sqrt{4 \cdot 3})^2 = (2\sqrt{3})^2$
$13 = (\sqrt{13})^2$
$14 = (\sqrt{14})^2$
$15 = (\sqrt{15})^2$
$16 = (\sqrt{16})^2 = 4^2$
$17 = (\sqrt{17})^2$
$18 = (\sqrt{18})^2 = (\sqrt{9 \cdot 2})^2 = (3\sqrt{2})^2$
$19 = (\sqrt{19})^2$
$20 = (\sqrt{20})^2 = (\sqrt{4 \cdot 5})^2 = (2\sqrt{5})^2$
Ответ: $11 = (\sqrt{11})^2$; $12 = (2\sqrt{3})^2$; $13 = (\sqrt{13})^2$; $14 = (\sqrt{14})^2$; $15 = (\sqrt{15})^2$; $16 = 4^2$; $17 = (\sqrt{17})^2$; $18 = (3\sqrt{2})^2$; $19 = (\sqrt{19})^2$; $20 = (2\sqrt{5})^2$.

249 Между какими последовательными целыми числами заключено число:

a) $ \sqrt{8} $;

б) $ \sqrt{15} $;

в) $ \sqrt{27} $;

г) $ \sqrt{150} $;

д) $ \sqrt{200} $;

е) $ \sqrt{480} $?

а) Чтобы определить, между какими последовательными целыми числами находится число $\sqrt{8}$, нам нужно найти такое целое число $n$, что выполняется неравенство $n < \sqrt{8} < n+1$.
Возведем все части этого двойного неравенства в квадрат: $n^2 < (\sqrt{8})^2 < (n+1)^2$, что равносильно $n^2 < 8 < (n+1)^2$.
Теперь нам нужно найти два последовательных полных квадрата (квадраты целых чисел), между которыми заключено число 8.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$.
Мы видим, что $4 < 8 < 9$. Это означает, что $2^2 < 8 < 3^2$.
Следовательно, исходное неравенство принимает вид $2 < \sqrt{8} < 3$.
Таким образом, число $\sqrt{8}$ заключено между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

б) Найдем последовательные целые числа, между которыми заключено число $\sqrt{15}$. Для этого найдем целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \sqrt{15} < n+1$.
Возведя в квадрат, получим $n^2 < 15 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$.
Так как $9 < 15 < 16$, то выполняется неравенство $3^2 < 15 < 4^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем $3 < \sqrt{15} < 4$.
Число $\sqrt{15}$ находится между последовательными целыми числами 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

в) Определим, между какими последовательными целыми числами находится $\sqrt{27}$. Ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt{27} < n+1$.
Это эквивалентно неравенству $n^2 < 27 < (n+1)^2$.
Найдем полные квадраты, ближайшие к 27: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$.
Поскольку $25 < 27 < 36$, то $5^2 < 27 < 6^2$.
Следовательно, $5 < \sqrt{27} < 6$.
Число $\sqrt{27}$ заключено между последовательными целыми числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

г) Найдем последовательные целые числа для $\sqrt{150}$. Ищем $n$, для которого $n < \sqrt{150} < n+1$, или $n^2 < 150 < (n+1)^2$.
Вычислим квадраты целых чисел, близких к $\sqrt{150}$: $10^2=100$, $11^2 = 121$, $12^2 = 144$, $13^2 = 169$.
Мы видим, что $144 < 150 < 169$, то есть $12^2 < 150 < 13^2$.
Извлекая корень, получаем $12 < \sqrt{150} < 13$.
Число $\sqrt{150}$ находится между 12 и 13.
Ответ: 12 и 13.

д) Определим целые числа для $\sqrt{200}$. Мы ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt{200} < n+1$, что эквивалентно $n^2 < 200 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $14^2 = 196$, $15^2 = 225$.
Так как $196 < 200 < 225$, то $14^2 < 200 < 15^2$.
Следовательно, $14 < \sqrt{200} < 15$.
Число $\sqrt{200}$ находится между последовательными целыми числами 14 и 15.
Ответ: 14 и 15.

е) Найдем последовательные целые числа для $\sqrt{480}$. Ищем $n$ такое, что $n < \sqrt{480} < n+1$, или $n^2 < 480 < (n+1)^2$.
Вычислим квадраты целых чисел. Мы знаем, что $20^2=400$. Проверим следующие числа:
$21^2 = 441$.
$22^2 = 484$.
Мы видим, что $441 < 480 < 484$, то есть $21^2 < 480 < 22^2$.
Извлекая квадратный корень из неравенства, получаем $21 < \sqrt{480} < 22$.
Число $\sqrt{480}$ находится между 21 и 22.
Ответ: 21 и 22.

250 Найдите с помощью калькулятора десятичное приближение квадратного корня с двумя знаками после запятой:

a) $\sqrt{508}$;

б) $\sqrt{617}$.

Возведите полученное число в квадрат. Получилось ли в результате число, близкое к стоящему под знаком корня?

а)

1. Находим значение квадратного корня из 508 с помощью калькулятора:

$\sqrt{508} \approx 22.538855...$

2. Округляем результат до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой – 8, поэтому округляем в большую сторону:

$\sqrt{508} \approx 22.54$

3. Возводим полученное число в квадрат:

$22.54^2 = 22.54 \cdot 22.54 = 508.0516$

4. Сравниваем результат с подкоренным выражением. Число $508.0516$ очень близко к числу $508$. Разница составляет всего $0.0516$. Таким образом, в результате получилось число, близкое к стоящему под знаком корня.

Ответ: $\sqrt{508} \approx 22.54$; $22.54^2 = 508.0516$. Да, полученное число близко к $508$.

б)

1. Находим значение квадратного корня из 617 с помощью калькулятора:

$\sqrt{617} \approx 24.839484...$

2. Округляем результат до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой – 9, поэтому округляем в большую сторону:

$\sqrt{617} \approx 24.84$

3. Возводим полученное число в квадрат:

$24.84^2 = 24.84 \cdot 24.84 = 617.0256$

4. Сравниваем результат с подкоренным выражением. Число $617.0256$ очень близко к числу $617$. Разница составляет всего $0.0256$. Таким образом, в результате получилось число, близкое к стоящему под знаком корня.

Ответ: $\sqrt{617} \approx 24.84$; $24.84^2 = 617.0256$. Да, полученное число близко к $617$.

251 Применяем алгебру Площадь квадрата равна $10 \text{ см}^2$. Чему равна его сторона? Дайте точный ответ, записав его с помощью знака $\sqrt{}$, и приближённый, выразив результат десятичной дробью с двумя знаками после запятой. Начертите квадрат, площадь которого примерно равна $10 \text{ см}^2$.

Точный ответ для стороны квадрата

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — это длина его стороны. По условию задачи, $S = 10 \text{ см}^2$.

Чтобы найти длину стороны $a$, нужно извлечь квадратный корень из площади. Составим уравнение:

$a^2 = 10$

Поскольку длина стороны должна быть положительным числом, мы находим арифметический квадратный корень:

$a = \sqrt{10}$

Это точное значение длины стороны квадрата, выраженное с помощью знака радикала (квадратного корня).

Ответ: $\sqrt{10}$ см.

Приближённый ответ для стороны квадрата

Чтобы найти приближённое значение, необходимо вычислить $\sqrt{10}$ и округлить результат до двух знаков после запятой (до сотых), как требуется в условии.

Вычисляем значение корня: $\sqrt{10} \approx 3,16227766...$

Для округления до двух знаков после запятой смотрим на третью цифру. Это цифра 2. Так как $2 < 5$, мы округляем в меньшую сторону (отбрасываем все цифры после сотых), оставляя цифру в разряде сотых без изменений.

Таким образом, приближённое значение стороны квадрата равно $3,16$ см.

Ответ: $a \approx 3,16$ см.

Чертеж квадрата

Для построения квадрата с площадью, примерно равной $10 \text{ см}^2$, мы используем найденное приближённое значение его стороны, то есть $a \approx 3,16$ см. Ниже представлен схематический чертеж такого квадрата.

Проверим площадь для стороны $3,16$ см: $S = (3,16)^2 = 9,9856 \text{ см}^2$. Это значение очень близко к $10 \text{ см}^2$, что подтверждает правильность построения.

Ответ: чертеж квадрата, площадь которого примерно равна $10 \text{ см}^2$, представлен выше.

252 С помощью калькулятора найдите значения $\sqrt{n}$ для всех натуральных $n$ от 1 до 20. Заполните таблицу, указывая приближённые значения $\sqrt{n}$ с тремя знаками после запятой.

n $\sqrt{n}$ n $\sqrt{n}$ n $\sqrt{n}$ n $\sqrt{n}$

1 1 6 11 16

2 1,414 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

Для решения задачи необходимо с помощью калькулятора найти значения $\sqrt{n}$ для всех натуральных чисел n от 1 до 20. Результаты нужно округлить до трех знаков после запятой и заполнить соответствующую таблицу. Ниже представлено подробное решение для каждого значения $n$, для которого ячейка в таблице пуста.

Вычисляем значение $\sqrt{3}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{3} \approx 1.7320508...$. Округляем до трех знаков после запятой. Так как четвертая цифра после запятой (0) меньше 5, оставляем третью цифру без изменений.

Ответ: 1.732

Вычисляем значение $\sqrt{4}$. Так как 4 является полным квадратом ($4 = 2^2$), корень извлекается точно, и результат является целым числом.

Ответ: 2

Вычисляем значение $\sqrt{5}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{5} \approx 2.2360679...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (0) меньше 5.

Ответ: 2.236

Вычисляем значение $\sqrt{6}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{6} \approx 2.4494897...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (4) меньше 5.

Ответ: 2.449

Вычисляем значение $\sqrt{7}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{7} \approx 2.6457513...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (7) больше или равна 5, поэтому увеличиваем третью цифру на единицу.

Ответ: 2.646

Вычисляем значение $\sqrt{8}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{8} \approx 2.8284271...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (4) меньше 5.

Ответ: 2.828

Вычисляем значение $\sqrt{9}$. Так как 9 является полным квадратом ($9 = 3^2$), корень извлекается точно.

Ответ: 3

Вычисляем значение $\sqrt{10}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{10} \approx 3.1622776...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (2) меньше 5.

Ответ: 3.162

Вычисляем значение $\sqrt{11}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{11} \approx 3.3166247...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (6) больше или равна 5.

Ответ: 3.317

Вычисляем значение $\sqrt{12}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{12} \approx 3.4641016...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (1) меньше 5.

Ответ: 3.464

Вычисляем значение $\sqrt{13}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{13} \approx 3.6055512...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (5) больше или равна 5.

Ответ: 3.606

Вычисляем значение $\sqrt{14}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{14} \approx 3.7416573...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (6) больше или равна 5.

Ответ: 3.742

Вычисляем значение $\sqrt{15}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{15} \approx 3.8729833...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (9) больше или равна 5.

Ответ: 3.873

Вычисляем значение $\sqrt{16}$. Так как 16 является полным квадратом ($16 = 4^2$), корень извлекается точно.

Ответ: 4

Вычисляем значение $\sqrt{17}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{17} \approx 4.1231056...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (1) меньше 5.

Ответ: 4.123

Вычисляем значение $\sqrt{18}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{18} \approx 4.2426406...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (6) больше или равна 5.

Ответ: 4.243

Вычисляем значение $\sqrt{19}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{19} \approx 4.3588989...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (8) больше или равна 5.

Ответ: 4.359

Вычисляем значение $\sqrt{20}$ с помощью калькулятора: $\sqrt{20} \approx 4.4721359...$. Округляем до трех знаков после запятой. Четвертая цифра (1) меньше 5.

Ответ: 4.472

Итоговая таблица: