Страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

243 Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат (рис. 2.2), вычисляется по формуле $V = a^2h$. Выразите из этой формулы сторону основания $a$ и высоту параллелепипеда $h$.

Рис. 2.2

Дана формула для вычисления объёма $V$ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат со стороной $a$, а высота равна $h$: $V = a^2h$.

Задача состоит в том, чтобы выразить из этой формулы сторону основания $a$ и высоту $h$.

сторону основания a

Чтобы выразить сторону основания $a$, начнем с исходного уравнения $V = a^2h$. Сначала необходимо выразить $a^2$. Для этого разделим обе части уравнения на множитель $h$ (высота $h$ не может быть равна нулю).

$\frac{V}{h} = \frac{a^2h}{h}$

Сократив $h$ в правой части уравнения, получим:

$a^2 = \frac{V}{h}$

Теперь, чтобы найти $a$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей равенства. Поскольку $a$ — это длина стороны, её значение должно быть положительным, поэтому мы берем арифметический квадратный корень.

$a = \sqrt{\frac{V}{h}}$

Ответ: $a = \sqrt{\frac{V}{h}}$

высоту параллелепипеда h

Чтобы выразить высоту $h$, снова обратимся к исходной формуле $V = a^2h$. В данном уравнении $h$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($V$) разделить на известный множитель ($a^2$). Сторона основания $a$ не может быть равна нулю.

Разделим обе части уравнения на $a^2$:

$\frac{V}{a^2} = \frac{a^2h}{a^2}$

Сократив $a^2$ в правой части, получим формулу для высоты $h$:

$h = \frac{V}{a^2}$

Ответ: $h = \frac{V}{a^2}$

244 Вычислите:

a) $\sqrt{18225}$;

б) $\sqrt{12544}$;

в) $\sqrt{11025}$;

г) $\sqrt{69696}$.

а) Для вычисления $\sqrt{18225}$ воспользуемся методом оценки. Сначала определим границы для корня. Так как $100^2 = 10000$ и $200^2 = 40000$, а $10000 < 18225 < 40000$, то корень находится в диапазоне от 100 до 200. Далее, обратим внимание на последнюю цифру числа 18225 — это 5. Квадрат числа оканчивается на 5 только тогда, когда само число оканчивается на 5. Уточним границы: $130^2 = 16900$ и $140^2 = 19600$. Так как $16900 < 18225 < 19600$, корень находится между 130 и 140. Единственное целое число в этом промежутке, оканчивающееся на 5, — это 135. Проверим: $135^2 = 18225$. Таким образом, $\sqrt{18225} = 135$.

Ответ: 135

б) Для вычисления $\sqrt{12544}$ применим метод оценки. Оценим значение корня: $110^2 = 12100$ и $120^2 = 14400$. Поскольку $12100 < 12544 < 14400$, корень находится в диапазоне от 110 до 120. Последняя цифра числа 12544 — это 4. Квадрат числа оканчивается на 4, если само число оканчивается на 2 (так как $2^2 = 4$) или на 8 (так как $8^2 = 64$). Следовательно, возможные значения корня — это 112 или 118. Проверим первый вариант: $112^2 = 12544$. Этот вариант подходит. Значит, $\sqrt{12544} = 112$.

Ответ: 112

в) Для вычисления $\sqrt{11025}$ воспользуемся методом оценки. Определим границы: $100^2 = 10000$ и $110^2 = 12100$. Так как $10000 < 11025 < 12100$, корень находится в промежутке от 100 до 110. Последняя цифра числа 11025 — это 5, значит, корень должен оканчиваться на 5. Единственное целое число в указанном диапазоне, оканчивающееся на 5, — это 105. Проверим: $105^2 = (100+5)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 5 + 5^2 = 10000 + 1000 + 25 = 11025$. Расчет верен. Следовательно, $\sqrt{11025} = 105$.

Ответ: 105

г) Для вычисления $\sqrt{69696}$ используем метод оценки. Оценим значение корня: $260^2 = 67600$ и $270^2 = 72900$. Поскольку $67600 < 69696 < 72900$, корень находится в диапазоне от 260 до 270. Последняя цифра числа 69696 — это 6. Квадрат числа оканчивается на 6, если само число оканчивается на 4 (так как $4^2=16$) или на 6 (так как $6^2=36$). Таким образом, возможные значения корня — это 264 или 266. Проверим 264: $264^2 = (260+4)^2 = 260^2 + 2 \cdot 260 \cdot 4 + 4^2 = 67600 + 2080 + 16 = 69696$. Этот вариант является правильным. Таким образом, $\sqrt{69696} = 264$.

Ответ: 264

РАССУЖДАЕМ (245–246)

245 Упростите:

а) $\sqrt{2^{1000}}$;

б) $\sqrt{3^{-50}}$;

в) $\sqrt{7^{500}}$;

г) $\sqrt{5^{-100}}$.

Образец. $\sqrt{15^{40}} = \sqrt{(15^{20})^2} = 15^{20}$.

Для упрощения данных выражений используется свойство квадратного корня $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a > 0$, или, что то же самое, свойство степени с рациональным показателем $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Таким образом, $\sqrt{a^b} = (a^b)^{1/2} = a^{b/2}$. Мы будем следовать образцу, представляя подкоренное выражение в виде квадрата другого выражения.

Чтобы упростить выражение $\sqrt{2^{1000}}$, представим подкоренное выражение $2^{1000}$ в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Показатель степени $1000$ можно представить как $500 \cdot 2$.

Следовательно, $2^{1000} = (2^{500})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2^{1000}} = \sqrt{(2^{500})^2}$

Так как основание степени $2^{500}$ является положительным числом, корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(2^{500})^2} = 2^{500}$

Ответ: $2^{500}$

Чтобы упростить выражение $\sqrt{3^{-50}}$, представим подкоренное выражение $3^{-50}$ в виде полного квадрата.

Показатель степени $-50$ можно представить как $-25 \cdot 2$.

Следовательно, $3^{-50} = (3^{-25})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{3^{-50}} = \sqrt{(3^{-25})^2}$

Основание степени $3^{-25}$ является положительным числом, поэтому корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(3^{-25})^2} = 3^{-25}$

Ответ: $3^{-25}$

Чтобы упростить выражение $\sqrt{7^{500}}$, представим подкоренное выражение $7^{500}$ в виде полного квадрата.

Показатель степени $500$ можно представить как $250 \cdot 2$.

Следовательно, $7^{500} = (7^{250})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{7^{500}} = \sqrt{(7^{250})^2}$

Так как основание степени $7^{250}$ является положительным числом, корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(7^{250})^2} = 7^{250}$

Ответ: $7^{250}$

Чтобы упростить выражение $\sqrt{5^{-100}}$, представим подкоренное выражение $5^{-100}$ в виде полного квадрата.

Показатель степени $-100$ можно представить как $-50 \cdot 2$.

Следовательно, $5^{-100} = (5^{-50})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{5^{-100}} = \sqrt{(5^{-50})^2}$

Основание степени $5^{-50}$ является положительным числом, поэтому корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(5^{-50})^2} = 5^{-50}$

Ответ: $5^{-50}$

246 Найдите значение выражения:

a) $ \sqrt{\sqrt{81}}; $

б) $ \sqrt{\sqrt{625}}; $

в) $ \sqrt{11 + \sqrt{25}}; $

г) $ \sqrt{\sqrt{49} - \sqrt{36}}. $

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\sqrt{81}}$, необходимо выполнить действия последовательно, начиная с самого внутреннего корня.
1. Сначала вычисляем значение внутреннего квадратного корня: $\sqrt{81} = 9$, так как $9^2 = 81$.
2. Теперь подставляем полученное значение в исходное выражение: $\sqrt{9}$.
3. Вычисляем оставшийся квадратный корень: $\sqrt{9} = 3$, так как $3^2 = 9$.
Таким образом, $\sqrt{\sqrt{81}} = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\sqrt{625}}$, действуем аналогично предыдущему пункту.
1. Вычисляем внутренний корень: $\sqrt{625} = 25$, так как $25^2 = 625$.
2. Подставляем результат в выражение: $\sqrt{25}$.
3. Вычисляем внешний корень: $\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.
Таким образом, $\sqrt{\sqrt{625}} = 5$.
Ответ: 5

в) Для выражения $\sqrt{11 + \sqrt{25}}$ порядок действий следующий: сначала вычисляем корень, затем выполняем сложение под внешним корнем, и в конце извлекаем внешний корень.
1. Вычисляем значение $\sqrt{25}$: $\sqrt{25} = 5$.
2. Подставляем это значение в выражение под внешним корнем: $\sqrt{11 + 5}$.
3. Выполняем сложение: $11 + 5 = 16$. Выражение принимает вид $\sqrt{16}$.
4. Вычисляем итоговый корень: $\sqrt{16} = 4$.
Таким образом, $\sqrt{11 + \sqrt{25}} = 4$.
Ответ: 4

г) Для выражения $\sqrt{\sqrt{49} - \sqrt{36}}$ сначала находим значения корней, стоящих под внешним корнем, затем выполняем вычитание и извлекаем внешний корень.
1. Вычисляем значения корней: $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt{36} = 6$.
2. Подставляем полученные значения в выражение: $\sqrt{7 - 6}$.
3. Выполняем вычитание под корнем: $7 - 6 = 1$. Получаем $\sqrt{1}$.
4. Вычисляем итоговый корень: $\sqrt{1} = 1$.
Таким образом, $\sqrt{\sqrt{49} - \sqrt{36}} = 1$.
Ответ: 1