Номер 245, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.1. Задача о нахождении стороны квадрата. Глава 2. Квадратные корни - номер 245, страница 68.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (245–246)

245 Упростите:

а) $\sqrt{2^{1000}}$;

б) $\sqrt{3^{-50}}$;

в) $\sqrt{7^{500}}$;

г) $\sqrt{5^{-100}}$.

Образец. $\sqrt{15^{40}} = \sqrt{(15^{20})^2} = 15^{20}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для упрощения данных выражений используется свойство квадратного корня $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a > 0$, или, что то же самое, свойство степени с рациональным показателем $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Таким образом, $\sqrt{a^b} = (a^b)^{1/2} = a^{b/2}$. Мы будем следовать образцу, представляя подкоренное выражение в виде квадрата другого выражения.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{2^{1000}}$, представим подкоренное выражение $2^{1000}$ в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Показатель степени $1000$ можно представить как $500 \cdot 2$.

Следовательно, $2^{1000} = (2^{500})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2^{1000}} = \sqrt{(2^{500})^2}$

Так как основание степени $2^{500}$ является положительным числом, корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(2^{500})^2} = 2^{500}$

Ответ: $2^{500}$

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{3^{-50}}$, представим подкоренное выражение $3^{-50}$ в виде полного квадрата.

Показатель степени $-50$ можно представить как $-25 \cdot 2$.

Следовательно, $3^{-50} = (3^{-25})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{3^{-50}} = \sqrt{(3^{-25})^2}$

Основание степени $3^{-25}$ является положительным числом, поэтому корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(3^{-25})^2} = 3^{-25}$

Ответ: $3^{-25}$

в)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{7^{500}}$, представим подкоренное выражение $7^{500}$ в виде полного квадрата.

Показатель степени $500$ можно представить как $250 \cdot 2$.

Следовательно, $7^{500} = (7^{250})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{7^{500}} = \sqrt{(7^{250})^2}$

Так как основание степени $7^{250}$ является положительным числом, корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(7^{250})^2} = 7^{250}$

Ответ: $7^{250}$

г)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{5^{-100}}$, представим подкоренное выражение $5^{-100}$ в виде полного квадрата.

Показатель степени $-100$ можно представить как $-50 \cdot 2$.

Следовательно, $5^{-100} = (5^{-50})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{5^{-100}} = \sqrt{(5^{-50})^2}$

Основание степени $5^{-50}$ является положительным числом, поэтому корень из его квадрата равен самому основанию:

$\sqrt{(5^{-50})^2} = 5^{-50}$

Ответ: $5^{-50}$