Номер 249, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 249, страница 72.

Условие.

249 Между какими последовательными целыми числами заключено число:

a) $ \sqrt{8} $;

б) $ \sqrt{15} $;

в) $ \sqrt{27} $;

г) $ \sqrt{150} $;

д) $ \sqrt{200} $;

е) $ \sqrt{480} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы определить, между какими последовательными целыми числами находится число $\sqrt{8}$, нам нужно найти такое целое число $n$, что выполняется неравенство $n < \sqrt{8} < n+1$.
Возведем все части этого двойного неравенства в квадрат: $n^2 < (\sqrt{8})^2 < (n+1)^2$, что равносильно $n^2 < 8 < (n+1)^2$.
Теперь нам нужно найти два последовательных полных квадрата (квадраты целых чисел), между которыми заключено число 8.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$.
Мы видим, что $4 < 8 < 9$. Это означает, что $2^2 < 8 < 3^2$.
Следовательно, исходное неравенство принимает вид $2 < \sqrt{8} < 3$.
Таким образом, число $\sqrt{8}$ заключено между последовательными целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

б) Найдем последовательные целые числа, между которыми заключено число $\sqrt{15}$. Для этого найдем целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n < \sqrt{15} < n+1$.
Возведя в квадрат, получим $n^2 < 15 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$.
Так как $9 < 15 < 16$, то выполняется неравенство $3^2 < 15 < 4^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем $3 < \sqrt{15} < 4$.
Число $\sqrt{15}$ находится между последовательными целыми числами 3 и 4.
Ответ: 3 и 4.

в) Определим, между какими последовательными целыми числами находится $\sqrt{27}$. Ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt{27} < n+1$.
Это эквивалентно неравенству $n^2 < 27 < (n+1)^2$.
Найдем полные квадраты, ближайшие к 27: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$.
Поскольку $25 < 27 < 36$, то $5^2 < 27 < 6^2$.
Следовательно, $5 < \sqrt{27} < 6$.
Число $\sqrt{27}$ заключено между последовательными целыми числами 5 и 6.
Ответ: 5 и 6.

г) Найдем последовательные целые числа для $\sqrt{150}$. Ищем $n$, для которого $n < \sqrt{150} < n+1$, или $n^2 < 150 < (n+1)^2$.
Вычислим квадраты целых чисел, близких к $\sqrt{150}$: $10^2=100$, $11^2 = 121$, $12^2 = 144$, $13^2 = 169$.
Мы видим, что $144 < 150 < 169$, то есть $12^2 < 150 < 13^2$.
Извлекая корень, получаем $12 < \sqrt{150} < 13$.
Число $\sqrt{150}$ находится между 12 и 13.
Ответ: 12 и 13.

д) Определим целые числа для $\sqrt{200}$. Мы ищем целое число $n$ такое, что $n < \sqrt{200} < n+1$, что эквивалентно $n^2 < 200 < (n+1)^2$.
Рассмотрим квадраты целых чисел: $14^2 = 196$, $15^2 = 225$.
Так как $196 < 200 < 225$, то $14^2 < 200 < 15^2$.
Следовательно, $14 < \sqrt{200} < 15$.
Число $\sqrt{200}$ находится между последовательными целыми числами 14 и 15.
Ответ: 14 и 15.

е) Найдем последовательные целые числа для $\sqrt{480}$. Ищем $n$ такое, что $n < \sqrt{480} < n+1$, или $n^2 < 480 < (n+1)^2$.
Вычислим квадраты целых чисел. Мы знаем, что $20^2=400$. Проверим следующие числа:
$21^2 = 441$.
$22^2 = 484$.
Мы видим, что $441 < 480 < 484$, то есть $21^2 < 480 < 22^2$.
Извлекая квадратный корень из неравенства, получаем $21 < \sqrt{480} < 22$.
Число $\sqrt{480}$ находится между 21 и 22.
Ответ: 21 и 22.