Номер 255, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 255, страница 73.

Условие.

255 Покажите на координатной прямой примерное расположение чисел $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, ..., \sqrt{20}$. (За единичный отрезок примите 5 клеток.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы показать примерное расположение чисел $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, ..., \sqrt{20}$ на координатной прямой, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала мы найдем их приближенные десятичные значения, а затем, используя заданный масштаб (1 единичный отрезок = 5 клеток), нанесем точки на координатную прямую.

Шаг 1: Вычисление приближенных значений

Найдем десятичные приближения для каждого числа, чтобы точно определить их положение между целыми числами. Для чисел, являющихся точными квадратами, корень будет целым числом.

• $\sqrt{1} = 1$
• $\sqrt{2} \approx 1.41$
• $\sqrt{3} \approx 1.73$
• $\sqrt{4} = 2$
• $\sqrt{5} \approx 2.24$
• $\sqrt{6} \approx 2.45$
• $\sqrt{7} \approx 2.65$
• $\sqrt{8} \approx 2.83$
• $\sqrt{9} = 3$
• $\sqrt{10} \approx 3.16$
• $\sqrt{11} \approx 3.32$
• $\sqrt{12} \approx 3.46$
• $\sqrt{13} \approx 3.61$
• $\sqrt{14} \approx 3.74$
• $\sqrt{15} \approx 3.87$
• $\sqrt{16} = 4$
• $\sqrt{17} \approx 4.12$
• $\sqrt{18} \approx 4.24$
• $\sqrt{19} \approx 4.36$
• $\sqrt{20} \approx 4.47$

Шаг 2: Построение координатной прямой и нанесение точек

Начертим координатную прямую. Согласно условию, единичный отрезок равен 5 клеткам. Это значит, что расстояние между, например, 0 и 1, или 1 и 2, делится на 5 равных частей (клеток).

Теперь отметим числа на этой прямой:

• Числа $\sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$ точно совпадут с целыми отметками 1, 2, 3 и 4.
• Остальные числа расположатся между целыми отметками. Например, $\sqrt{2} \approx 1.41$. Это значение находится между 1 и 2. Так как единичный отрезок (от 1 до 2) — это 5 клеток, то $\sqrt{2}$ будет находиться на расстоянии $0.41 \times 5 \approx 2.05$ клетки от отметки 1.
• Аналогично, $\sqrt{3} \approx 1.73$ будет на расстоянии $0.73 \times 5 \approx 3.65$ клетки от отметки 1.
• Число $\sqrt{20} \approx 4.47$ будет находиться между 4 и 5, на расстоянии $0.47 \times 5 \approx 2.35$ клетки от отметки 4.

Ниже представлено графическое изображение координатной прямой с отмеченными точками. Маленькие серые деления обозначают "клетки".

Ответ:

Примерное расположение чисел от $\sqrt{1}$ до $\sqrt{20}$ показано на координатной прямой на рисунке выше. Точки, соответствующие корням из полных квадратов ($\sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$), отмечены красным цветом и совпадают с целочисленными делениями 1, 2, 3, 4. Остальные точки (отмечены синим) располагаются между целыми числами в соответствии с их приближенными значениями. Характерной особенностью является то, что расстояние между соседними точками $\sqrt{n}$ и $\sqrt{n+1}$ уменьшается по мере увеличения $n$.