Номер 258, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 258, страница 73.

Условие.

258 a) Каждое из чисел $ \sqrt{12}, \sqrt{19}, \sqrt{28} $ соотнесите с соответствующей ему точкой координатной прямой (рис. 2.7).

Рис. 2.7

б) На координатной прямой (рис. 2.8) точки $K$ и $L$ отмечены два из следующих чисел: $ \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{0,4} $. Какое число соответствует точке $K$ и какое — точке $L$?

Рис. 2.8

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы соотнести числа с точками на координатной прямой, оценим приближенные значения квадратных корней. Для этого сравним подкоренные выражения с ближайшими квадратами целых чисел.

Для числа $\sqrt{12}$:
Поскольку $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $9 < 12 < 16$. Это означает, что $\sqrt{9} < \sqrt{12} < \sqrt{16}$, или $3 < \sqrt{12} < 4$. На рисунке 2.7 в этом интервале находится только точка B. Следовательно, числу $\sqrt{12}$ соответствует точка B.

Для числа $\sqrt{19}$:
Поскольку $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $16 < 19 < 25$. Это означает, что $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}$, или $4 < \sqrt{19} < 5$. В этом интервале находятся точки C и D. Чтобы выбрать правильную, определим, к какому целому числу $\sqrt{19}$ ближе. Сравним расстояния: $19 - 16 = 3$ и $25 - 19 = 6$. Так как 19 ближе к 16, то и $\sqrt{19}$ ближе к 4, чем к 5. На рисунке точка C расположена ближе к 4. Следовательно, числу $\sqrt{19}$ соответствует точка C.

Для числа $\sqrt{28}$:
Поскольку $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $25 < 28 < 36$. Это означает, что $\sqrt{25} < \sqrt{28} < \sqrt{36}$, или $5 < \sqrt{28} < 6$. На рисунке 2.7 в этом интервале находится только точка E. Следовательно, числу $\sqrt{28}$ соответствует точка E.

Ответ: $\sqrt{12}$ соответствует точке B, $\sqrt{19}$ — точке C, $\sqrt{28}$ — точке E.

б) Сначала оценим приближенные значения данных чисел:

• $\sqrt{3}$: так как $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
• $\sqrt{5}$: так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Более точное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$.
• $\sqrt{7}$: так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Более точное значение $\sqrt{7} \approx 2.646$.
• $\sqrt{0.4}$: так как $0^2=0$ и $1^2=1$, то $0 < \sqrt{0.4} < 1$. Более точное значение $\sqrt{0.4} \approx 0.632$.

Теперь определим координаты точек K и L на координатной прямой (рис. 2.8). Единичный отрезок (например, от 0 до 1) разделен на 4 равных деления. Следовательно, цена одного деления равна $1/4 = 0.25$.

Точка K находится между 0 и 1. Она расположена между вторым ($0.5$) и третьим ($0.75$) делением, ближе к третьему. Ее координата примерно равна 0.6–0.7. Из предложенных чисел этому значению наиболее близко $\sqrt{0.4} \approx 0.632$.

Точка L находится между 2 и 3. Она расположена точно на первом делении после 2. Её координата равна $2 + 0.25 = 2.25$. Из предложенных чисел этому значению наиболее близко $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Ответ: Точке K соответствует число $\sqrt{0.4}$, а точке L — число $\sqrt{5}$.