Номер 260, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 260, страница 74.

Условие.

260 Положительным или отрицательным является число:

a) $1 - \sqrt{5}$;

б) $5 - \sqrt{10}$;

в) $\sqrt{12} - \sqrt{17}$;

г) $\sqrt{6} - \sqrt{5}$;

д) $\sqrt{7} - 3$;

е) $\sqrt{8} - 2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы определить, является ли число $1 - \sqrt{5}$ положительным или отрицательным, нужно сравнить числа $1$ и $\sqrt{5}$. Для этого представим $1$ в виде квадратного корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{1}$ и $\sqrt{5}$. Так как подкоренное выражение $1$ меньше, чем $5$, то и $\sqrt{1} < \sqrt{5}$. Следовательно, $1 < \sqrt{5}$. Поскольку мы вычитаем из меньшего числа большее, результат будет отрицательным.
Ответ: отрицательное.

б) Для определения знака числа $5 - \sqrt{10}$ сравним $5$ и $\sqrt{10}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$. Так как $25 > 10$, то и $5 > \sqrt{10}$. Мы вычитаем из большего числа меньшее, поэтому разность будет положительной.
Ответ: положительное.

в) Чтобы определить знак разности $\sqrt{12} - \sqrt{17}$, сравним числа $\sqrt{12}$ и $\sqrt{17}$. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравнивая подкоренные выражения, видим, что $12 < 17$. Отсюда следует, что $\sqrt{12} < \sqrt{17}$. Разность, где из меньшего числа вычитается большее, является отрицательной.
Ответ: отрицательное.

г) Для определения знака числа $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ сравним значения $\sqrt{6}$ и $\sqrt{5}$. Сравним подкоренные выражения: $6 > 5$. Поскольку функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{6} > \sqrt{5}$. Так как мы вычитаем из большего числа меньшее, результат будет положительным.
Ответ: положительное.

д) Чтобы определить знак числа $\sqrt{7} - 3$, сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Представим $3$ как корень: $3 = \sqrt{9}$. Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{9}$. Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{7} < 3$. Вычитание большего числа из меньшего дает отрицательный результат.
Ответ: отрицательное.

е) Для определения знака числа $\sqrt{8} - 2$ сравним $\sqrt{8}$ и $2$. Представим $2$ в виде корня: $2 = \sqrt{4}$. Сравним $\sqrt{8}$ и $\sqrt{4}$. Так как $8 > 4$, то $\sqrt{8} > \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{8} > 2$. Разность между большим и меньшим числом является положительной.
Ответ: положительное.