Страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

РАССУЖДАЕМ (259–260)

259 Сравните числа:

$\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{3}$, $1-\sqrt{2}$ и $1-\sqrt{3}$.

Для сравнения чисел воспользуемся свойствами числовых неравенств и свойствами функции $y = \sqrt{x}$.

$\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Сравним подкоренные выражения: $2$ и $3$.
Поскольку $2 < 3$, то и $\sqrt{2} < \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{2} < \sqrt{3}$.

$-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{3}$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\sqrt{2} < \sqrt{3}$.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (в нашем случае на $-1$), знак неравенства меняется на противоположный.
Умножим неравенство $\sqrt{2} < \sqrt{3}$ на $-1$:
$-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$.

$1 - \sqrt{2}$ и $1 - \sqrt{3}$

Воспользуемся результатом, полученным в предыдущем пункте: $-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$.
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Прибавим к обеим частям неравенства $-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$ число $1$:
$1 - \sqrt{2} > 1 - \sqrt{3}$.
Ответ: $1 - \sqrt{2} > 1 - \sqrt{3}$.

260 Положительным или отрицательным является число:

a) $1 - \sqrt{5}$;

б) $5 - \sqrt{10}$;

в) $\sqrt{12} - \sqrt{17}$;

г) $\sqrt{6} - \sqrt{5}$;

д) $\sqrt{7} - 3$;

е) $\sqrt{8} - 2$?

а) Чтобы определить, является ли число $1 - \sqrt{5}$ положительным или отрицательным, нужно сравнить числа $1$ и $\sqrt{5}$. Для этого представим $1$ в виде квадратного корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Теперь сравним $\sqrt{1}$ и $\sqrt{5}$. Так как подкоренное выражение $1$ меньше, чем $5$, то и $\sqrt{1} < \sqrt{5}$. Следовательно, $1 < \sqrt{5}$. Поскольку мы вычитаем из меньшего числа большее, результат будет отрицательным.
Ответ: отрицательное.

б) Для определения знака числа $5 - \sqrt{10}$ сравним $5$ и $\sqrt{10}$. Возведем оба числа в квадрат: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$. Так как $25 > 10$, то и $5 > \sqrt{10}$. Мы вычитаем из большего числа меньшее, поэтому разность будет положительной.
Ответ: положительное.

в) Чтобы определить знак разности $\sqrt{12} - \sqrt{17}$, сравним числа $\sqrt{12}$ и $\sqrt{17}$. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Сравнивая подкоренные выражения, видим, что $12 < 17$. Отсюда следует, что $\sqrt{12} < \sqrt{17}$. Разность, где из меньшего числа вычитается большее, является отрицательной.
Ответ: отрицательное.

г) Для определения знака числа $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ сравним значения $\sqrt{6}$ и $\sqrt{5}$. Сравним подкоренные выражения: $6 > 5$. Поскольку функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{6} > \sqrt{5}$. Так как мы вычитаем из большего числа меньшее, результат будет положительным.
Ответ: положительное.

д) Чтобы определить знак числа $\sqrt{7} - 3$, сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Представим $3$ как корень: $3 = \sqrt{9}$. Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{9}$. Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{7} < 3$. Вычитание большего числа из меньшего дает отрицательный результат.
Ответ: отрицательное.

е) Для определения знака числа $\sqrt{8} - 2$ сравним $\sqrt{8}$ и $2$. Представим $2$ в виде корня: $2 = \sqrt{4}$. Сравним $\sqrt{8}$ и $\sqrt{4}$. Так как $8 > 4$, то $\sqrt{8} > \sqrt{4}$, что означает $\sqrt{8} > 2$. Разность между большим и меньшим числом является положительной.
Ответ: положительное.

261 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Не используя калькулятор, сравните:

а) 3 и $\sqrt{11}$; в) 11 и $\sqrt{110}$; д) 22 и $\sqrt{484}$;

б) 5 и $\sqrt{20}$; г) 17 и $\sqrt{299}$; е) 35 и $\sqrt{1215}$.

Образец. Сравним 4 и $\sqrt{15}$.

Способ 1. Представим число 4 в виде корня: $4 = \sqrt{16}$.

Так как $\sqrt{16} > \sqrt{15}$, то $4 > \sqrt{15}$.

Способ 2. Сравним квадраты чисел 4 и $\sqrt{15}$:

$4^2 = 16$ и $(\sqrt{15})^2 = 15$.

Так как $4^2 > (\sqrt{15})^2$, то $4 > \sqrt{15}$.

а) 3 и √11

Для сравнения чисел 3 и $\sqrt{11}$ возведем оба числа в квадрат. Поскольку оба числа положительные, то знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами (так как функция $y=x^2$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$).

Найдем квадрат числа 3: $3^2 = 9$.

Найдем квадрат числа $\sqrt{11}$: $(\sqrt{11})^2 = 11$.

Теперь сравним полученные квадраты: $9 < 11$.

Из того, что $3^2 < (\sqrt{11})^2$, следует, что $3 < \sqrt{11}$.

Ответ: $3 < \sqrt{11}$.

б) 5 и √20

Для сравнения чисел 5 и $\sqrt{20}$ возведем оба числа в квадрат. Оба числа положительные, поэтому большему числу будет соответствовать больший квадрат.

Квадрат числа 5: $5^2 = 25$.

Квадрат числа $\sqrt{20}$: $(\sqrt{20})^2 = 20$.

Сравним полученные результаты: $25 > 20$.

Так как $5^2 > (\sqrt{20})^2$, то $5 > \sqrt{20}$.

Ответ: $5 > \sqrt{20}$.

в) 11 и √110

Для сравнения чисел 11 и $\sqrt{110}$ возведем оба числа в квадрат. Поскольку оба числа положительные, соотношение между ними будет таким же, как и между их квадратами.

Квадрат числа 11: $11^2 = 121$.

Квадрат числа $\sqrt{110}$: $(\sqrt{110})^2 = 110$.

Сравниваем квадраты: $121 > 110$.

Так как $11^2 > (\sqrt{110})^2$, то $11 > \sqrt{110}$.

Ответ: $11 > \sqrt{110}$.

г) 17 и √299

Для сравнения чисел 17 и $\sqrt{299}$ возведем оба числа в квадрат. Оба числа положительные, поэтому знак неравенства между ними сохранится и для их квадратов.

Квадрат числа 17: $17^2 = 289$.

Квадрат числа $\sqrt{299}$: $(\sqrt{299})^2 = 299$.

Сравниваем полученные результаты: $289 < 299$.

Так как $17^2 < (\sqrt{299})^2$, то $17 < \sqrt{299}$.

Ответ: $17 < \sqrt{299}$.

д) 22 и √484

Для сравнения чисел 22 и $\sqrt{484}$ возведем оба числа в квадрат.

Квадрат числа 22: $22^2 = 484$.

Квадрат числа $\sqrt{484}$: $(\sqrt{484})^2 = 484$.

Сравниваем полученные результаты: $484 = 484$.

Так как квадраты чисел равны и сами числа положительны, то и сами числа равны: $22 = \sqrt{484}$.

Ответ: $22 = \sqrt{484}$.

е) 35 и √1215

Для сравнения чисел 35 и $\sqrt{1215}$ возведем оба числа в квадрат. Поскольку оба числа положительные, соотношение между ними будет таким же, как и между их квадратами.

Квадрат числа 35: $35^2 = 1225$.

Квадрат числа $\sqrt{1215}$: $(\sqrt{1215})^2 = 1215$.

Сравниваем полученные результаты: $1225 > 1215$.

Так как $35^2 > (\sqrt{1215})^2$, то $35 > \sqrt{1215}$.

Ответ: $35 > \sqrt{1215}$.

262 Найдите площадь фигуры (рис. 2.9, а–г).

а) Катет: $3\sqrt{6}$

Катет: $3\sqrt{6}$

б) Катет: $2\sqrt{5}$

Катет: $2\sqrt{5}$

в) Катет: $5\sqrt{2}$

Катет: $7\sqrt{2}$

г) Катет: $4\sqrt{3}$

Катет: $8\sqrt{3}$

Рис. 2.9

а) На рисунке изображен квадрат со стороной $a = 3\sqrt{6}$. Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$. Вычислим площадь: $S = (3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$.
Ответ: 54

б) На рисунке изображен прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 2\sqrt{5}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Вычислим площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (\sqrt{5})^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

в) На рисунке изображен прямоугольник со сторонами $a = 5\sqrt{2}$ и $b = 7\sqrt{2}$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Вычислим площадь: $S = 5\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2} = (5 \cdot 7) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 35 \cdot 2 = 70$.
Ответ: 70

г) На рисунке изображен прямоугольный треугольник с катетами $a = 4\sqrt{3}$ и $b = 8\sqrt{3}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Вычислим площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 8) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48