Номер 261, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 261, страница 74.

Условие.

261 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Не используя калькулятор, сравните:

а) 3 и $\sqrt{11}$; в) 11 и $\sqrt{110}$; д) 22 и $\sqrt{484}$;

б) 5 и $\sqrt{20}$; г) 17 и $\sqrt{299}$; е) 35 и $\sqrt{1215}$.

Образец. Сравним 4 и $\sqrt{15}$.

Способ 1. Представим число 4 в виде корня: $4 = \sqrt{16}$.

Так как $\sqrt{16} > \sqrt{15}$, то $4 > \sqrt{15}$.

Способ 2. Сравним квадраты чисел 4 и $\sqrt{15}$:

$4^2 = 16$ и $(\sqrt{15})^2 = 15$.

Так как $4^2 > (\sqrt{15})^2$, то $4 > \sqrt{15}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) 3 и √11

Для сравнения чисел 3 и $\sqrt{11}$ возведем оба числа в квадрат. Поскольку оба числа положительные, то знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами (так как функция $y=x^2$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$).

Найдем квадрат числа 3: $3^2 = 9$.

Найдем квадрат числа $\sqrt{11}$: $(\sqrt{11})^2 = 11$.

Теперь сравним полученные квадраты: $9 < 11$.

Из того, что $3^2 < (\sqrt{11})^2$, следует, что $3 < \sqrt{11}$.

Ответ: $3 < \sqrt{11}$.

б) 5 и √20

Для сравнения чисел 5 и $\sqrt{20}$ возведем оба числа в квадрат. Оба числа положительные, поэтому большему числу будет соответствовать больший квадрат.

Квадрат числа 5: $5^2 = 25$.

Квадрат числа $\sqrt{20}$: $(\sqrt{20})^2 = 20$.

Сравним полученные результаты: $25 > 20$.

Так как $5^2 > (\sqrt{20})^2$, то $5 > \sqrt{20}$.

Ответ: $5 > \sqrt{20}$.

в) 11 и √110

Для сравнения чисел 11 и $\sqrt{110}$ возведем оба числа в квадрат. Поскольку оба числа положительные, соотношение между ними будет таким же, как и между их квадратами.

Квадрат числа 11: $11^2 = 121$.

Квадрат числа $\sqrt{110}$: $(\sqrt{110})^2 = 110$.

Сравниваем квадраты: $121 > 110$.

Так как $11^2 > (\sqrt{110})^2$, то $11 > \sqrt{110}$.

Ответ: $11 > \sqrt{110}$.

г) 17 и √299

Для сравнения чисел 17 и $\sqrt{299}$ возведем оба числа в квадрат. Оба числа положительные, поэтому знак неравенства между ними сохранится и для их квадратов.

Квадрат числа 17: $17^2 = 289$.

Квадрат числа $\sqrt{299}$: $(\sqrt{299})^2 = 299$.

Сравниваем полученные результаты: $289 < 299$.

Так как $17^2 < (\sqrt{299})^2$, то $17 < \sqrt{299}$.

Ответ: $17 < \sqrt{299}$.

д) 22 и √484

Для сравнения чисел 22 и $\sqrt{484}$ возведем оба числа в квадрат.

Квадрат числа 22: $22^2 = 484$.

Квадрат числа $\sqrt{484}$: $(\sqrt{484})^2 = 484$.

Сравниваем полученные результаты: $484 = 484$.

Так как квадраты чисел равны и сами числа положительны, то и сами числа равны: $22 = \sqrt{484}$.

Ответ: $22 = \sqrt{484}$.

е) 35 и √1215

Для сравнения чисел 35 и $\sqrt{1215}$ возведем оба числа в квадрат. Поскольку оба числа положительные, соотношение между ними будет таким же, как и между их квадратами.

Квадрат числа 35: $35^2 = 1225$.

Квадрат числа $\sqrt{1215}$: $(\sqrt{1215})^2 = 1215$.

Сравниваем полученные результаты: $1225 > 1215$.

Так как $35^2 > (\sqrt{1215})^2$, то $35 > \sqrt{1215}$.

Ответ: $35 > \sqrt{1215}$.