Номер 264, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 264, страница 75.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (264–265)

264 а) Площадь $S$ круга с радиусом $r$ (рис. 2.10) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Выразите из этой формулы радиус $r$.

б) Запишите формулу для вычисления площади круга $S$ по его диаметру $d$. Выразите из этой формулы диаметр $d$.

Рис. 2.10

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходная формула для площади круга: $S = \pi r^2$. Наша задача — выразить из нее радиус $r$.

1. Для того чтобы выделить $r^2$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{S}{\pi} = r^2$

2. Чтобы найти $r$, извлечем квадратный корень из обеих частей полученного равенства. Поскольку радиус — это геометрическая величина (длина), он не может быть отрицательным. Поэтому мы рассматриваем только арифметический (положительный) квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Ответ: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

б) Сначала необходимо записать формулу для вычисления площади круга $S$ через его диаметр $d$. Известно, что диаметр связан с радиусом соотношением $d = 2r$, откуда радиус можно выразить как $r = \frac{d}{2}$.

Подставим это выражение для $r$ в исходную формулу площади $S = \pi r^2$:

$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \frac{d^2}{2^2} = \frac{\pi d^2}{4}$

Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади круга по его диаметру.

Теперь выразим из этой новой формулы $S = \frac{\pi d^2}{4}$ диаметр $d$.

1. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4S = \pi d^2$

2. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы выделить $d^2$:

$d^2 = \frac{4S}{\pi}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как диаметр является положительной величиной, берем только положительное значение корня:

$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$

Это выражение можно также упростить, вынеся множитель 4 из-под знака корня:

$d = \frac{\sqrt{4}\sqrt{S}}{\sqrt{\pi}} = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Ответ: Формула площади круга через его диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Формула для диаметра, выраженная из формулы площади: $d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$ (или $d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$).