Номер 270, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 2. Квадратные корни. 2.2. Иррациональные числа - номер 270, страница 76.

Условие.

269 Найдите с помощью калькулятора десятичное приближение числа с двумя знаками после запятой:

а) $\sqrt{2}$ в) $0,5\sqrt{8}$ д) $\sqrt{3+\sqrt{3}}$

б) $\sqrt{10}$ г) $0,9\sqrt{2}$ е) $\sqrt{15-3}$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

270 а) Объём $V$ конуса (рис. 2.12) вычисляется по формуле

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Выразите из этой формулы высоту $H$ и радиус основания $R$.

б) Объём $V$ шарового сектора (рис. 2.13) вычисляется по формуле $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$. Выразите из этой формулы высоту сегмента $h$ и радиус шара $R$.

ИССЛЕДУЕМ

271 Когда вы находите перебором все делители некоторого натурального числа, удобно выписывать пары: делитель и соответствующее частное, которое также

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходная формула для объема конуса (рис. 2.12): $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $V$ — объем, $R$ — радиус основания, $H$ — высота.

Выразим высоту H:
Для того чтобы выразить $H$, нужно изолировать эту переменную в одной части уравнения.
1. Умножим обе части равенства на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3 \cdot V = 3 \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 H$
$3V = \pi R^2 H$
2. Разделим обе части получившегося уравнения на $\pi R^2$:
$\frac{3V}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 H}{\pi R^2}$
$H = \frac{3V}{\pi R^2}$

Выразим радиус основания R:
Для того чтобы выразить $R$, будем исходить из преобразованного уравнения $3V = \pi R^2 H$.
1. Разделим обе части на $\pi H$, чтобы изолировать $R^2$:
$\frac{3V}{\pi H} = \frac{\pi R^2 H}{\pi H}$
$R^2 = \frac{3V}{\pi H}$
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиус $R$ является геометрической величиной, его значение должно быть положительным, поэтому мы берем только арифметический (положительный) корень:
$R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

Ответ: $H = \frac{3V}{\pi R^2}$; $R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$.

б)

Исходная формула для объема шарового сектора (рис. 2.13): $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$, где $V$ — объем, $R$ — радиус шара, $h$ — высота сегмента.

Выразим высоту сегмента h:
Для того чтобы выразить $h$, выполним следующие преобразования:
1. Умножим обе части равенства на 3:
$3 \cdot V = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi R^2 h$
$3V = 2\pi R^2 h$
2. Разделим обе части на $2\pi R^2$:
$\frac{3V}{2\pi R^2} = \frac{2\pi R^2 h}{2\pi R^2}$
$h = \frac{3V}{2\pi R^2}$

Выразим радиус шара R:
Для того чтобы выразить $R$, будем исходить из уравнения $3V = 2\pi R^2 h$.
1. Разделим обе части на $2\pi h$, чтобы изолировать $R^2$:
$\frac{3V}{2\pi h} = \frac{2\pi R^2 h}{2\pi h}$
$R^2 = \frac{3V}{2\pi h}$
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как радиус шара $R$ — положительная величина, берем арифметический корень:
$R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}$

Ответ: $h = \frac{3V}{2\pi R^2}$; $R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}$.