Номер 268, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 268, страница 75.

Условие.

268 Укажите какое-нибудь рациональное число, заключённое между числами:

а) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$;

г) $1$ и $\sqrt{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$

Чтобы найти рациональное число между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, мы ищем число $x$, удовлетворяющее неравенству $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$. Поскольку все части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{2})^2 < x^2 < (\sqrt{3})^2$, что равносильно $2 < x^2 < 3$.

Теперь задача сводится к поиску рационального числа, квадрат которого находится между 2 и 3. Возьмем, к примеру, число $1,5$. Это рациональное число, так как $1,5 = \frac{3}{2}$. Проверим его квадрат: $1,5^2 = 2,25$.

Так как $2 < 2,25 < 3$, то исходное неравенство $\sqrt{2} < 1,5 < \sqrt{3}$ также верно. Следовательно, $1,5$ является подходящим рациональным числом.

Ответ: 1,5.

б) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$

Ищем рациональное число $x$ такое, что $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$. Возведем все части неравенства в квадрат: $3 < x^2 < 5$.

Нам нужно найти рациональное число, квадрат которого лежит между 3 и 5. В этом интервале находится целое число 4, которое является полным квадратом: $4 = 2^2$.

Поскольку $3 < 4 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{4} < \sqrt{5}$, то есть $\sqrt{3} < 2 < \sqrt{5}$. Число 2 является целым, а значит, и рациональным (его можно записать как дробь $\frac{2}{1}$).

Ответ: 2.

в) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $\sqrt{5} < x < \sqrt{7}$. Возводим в квадрат: $5 < x^2 < 7$.

В интервале от 5 до 7 нет целых чисел, являющихся полными квадратами. Поэтому попробуем найти квадрат десятичной дроби. Возьмем число $2,5$. Это рациональное число, так как $2,5 = \frac{5}{2}$.

Вычислим его квадрат: $2,5^2 = 6,25$.

Так как $5 < 6,25 < 7$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{6,25} < \sqrt{7}$, а значит, $\sqrt{5} < 2,5 < \sqrt{7}$.

Ответ: 2,5.

г) 1 и $\sqrt{2}$

Ищем рациональное число $x$ такое, что $1 < x < \sqrt{2}$. Возведем неравенство в квадрат: $1^2 < x^2 < (\sqrt{2})^2$, то есть $1 < x^2 < 2$.

Нужно найти рациональное число, квадрат которого находится между 1 и 2. Приближенное значение $\sqrt{2}$ равно $1,414...$. Попробуем взять число, немного меньшее этого значения, например, $1,4$. Это рациональное число ($1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$).

Проверим его квадрат: $1,4^2 = 1,96$.

Поскольку $1 < 1,96 < 2$, то и $1 < 1,4 < \sqrt{2}$.

Ответ: 1,4.