Страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

263 Упростите:

а) $(\sqrt{18})^2;$

б) $(\sqrt{23})^2;$

в) $3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7};$

г) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2}.$

а) По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ верно равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. В данном случае подкоренное выражение равно 18, поэтому при возведении в квадрат мы получаем само это число.
$(\sqrt{18})^2 = 18$.
Ответ: 18

б) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство $(\sqrt{a})^2 = a$. В этом выражении $a = 23$.
$(\sqrt{23})^2 = 23$.
Ответ: 23

в) Используем свойство умножения корней и определение квадратного корня. Сначала перемножим корни между собой: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 = 7$. Затем умножим результат на коэффициент 3.
$3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 3 \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}) = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: 21

г) Сгруппируем одинаковые множители и перемножим их. Произведение двух одинаковых корней $\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}$ равно подкоренному выражению, то есть 10.
$\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{10})^2 \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (264–265)

264 а) Площадь $S$ круга с радиусом $r$ (рис. 2.10) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Выразите из этой формулы радиус $r$.

б) Запишите формулу для вычисления площади круга $S$ по его диаметру $d$. Выразите из этой формулы диаметр $d$.

Рис. 2.10

а) Исходная формула для площади круга: $S = \pi r^2$. Наша задача — выразить из нее радиус $r$.

1. Для того чтобы выделить $r^2$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{S}{\pi} = r^2$

2. Чтобы найти $r$, извлечем квадратный корень из обеих частей полученного равенства. Поскольку радиус — это геометрическая величина (длина), он не может быть отрицательным. Поэтому мы рассматриваем только арифметический (положительный) квадратный корень:

$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Ответ: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

б) Сначала необходимо записать формулу для вычисления площади круга $S$ через его диаметр $d$. Известно, что диаметр связан с радиусом соотношением $d = 2r$, откуда радиус можно выразить как $r = \frac{d}{2}$.

Подставим это выражение для $r$ в исходную формулу площади $S = \pi r^2$:

$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \frac{d^2}{2^2} = \frac{\pi d^2}{4}$

Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади круга по его диаметру.

Теперь выразим из этой новой формулы $S = \frac{\pi d^2}{4}$ диаметр $d$.

1. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4S = \pi d^2$

2. Разделим обе части уравнения на $\pi$, чтобы выделить $d^2$:

$d^2 = \frac{4S}{\pi}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как диаметр является положительной величиной, берем только положительное значение корня:

$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$

Это выражение можно также упростить, вынеся множитель 4 из-под знака корня:

$d = \frac{\sqrt{4}\sqrt{S}}{\sqrt{\pi}} = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Ответ: Формула площади круга через его диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Формула для диаметра, выраженная из формулы площади: $d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$ (или $d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$).

из этой формулы диаметр $a$.

265 a) Площадь $S$ равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом $a$ (рис. 2.11) вычисляется по формуле $S = \frac{a^2}{2}$. Выразите $a$ из этой формулы катет $a$. Какой должна быть длина катета, чтобы площадь треугольника была равна 10 см²? (Ответ дайте приближённо с одним знаком после запятой.)

Рис. 2.11

б) Сколько секунд будет падать сосулька с крыши 22-этажного дома, примерная высота которого 68 м? (Для вычислений воспользуйтесь формулой $h = \frac{gt^2}{2}$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, $g$ — ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с².)

а) Исходная формула для площади равнобедренного прямоугольного треугольника: $S = \frac{a^2}{2}$.
Чтобы выразить из этой формулы катет $a$, выполним следующие шаги:
1. Умножим обе части формулы на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2S = a^2$
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку длина катета $a$ может быть только положительным числом, мы берем арифметический (положительный) корень:
$a = \sqrt{2S}$
Теперь, используя полученную формулу, найдем длину катета для треугольника с площадью $S = 10 \text{ см}^2$:
$a = \sqrt{2 \cdot 10} = \sqrt{20}$
Вычислим значение и округлим его с одним знаком после запятой, как указано в условии:
$a \approx 4.4721... \approx 4.5 \text{ см}$
Ответ: формула для катета: $a = \sqrt{2S}$. При площади $10 \text{ см}^2$ длина катета должна быть примерно $4.5 \text{ см}$.

б) Используем формулу для определения высоты падения: $h = \frac{gt^2}{2}$.
В условии даны следующие значения:
Высота $h = 68 \text{ м}$.
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.
Нам необходимо найти время падения $t$. Для этого выразим $t$ из формулы:
1. Умножим обе части уравнения на 2:
$2h = gt^2$
2. Разделим обе части на $g$:
$t^2 = \frac{2h}{g}$
3. Извлечем квадратный корень. Время $t$ не может быть отрицательным, поэтому берем положительное значение:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 68}{9.8}} = \sqrt{\frac{136}{9.8}} \approx \sqrt{13.8775...} \approx 3.725 \text{ с}$
Округлим результат до десятых:
$t \approx 3.7 \text{ с}$
Ответ: сосулька будет падать примерно 3.7 секунды.

РАССУЖДАЕМ (266–269)

266 Не используя калькулятор, найдите ближайшее к указанному числу натуральное число:

а) $\sqrt{50}$;

б) $\sqrt{22}$;

в) $\sqrt{9,2}$;

г) $\sqrt{33,7}$;

д) $\sqrt{80,02}$.

а) Чтобы найти ближайшее к числу $\sqrt{50}$ натуральное число, нужно определить, между какими двумя последовательными натуральными числами оно находится. Для этого сравним подкоренное выражение 50 с квадратами натуральных чисел.
Мы знаем, что $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$.
Поскольку $49 < 50 < 64$, мы можем заключить, что $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$, то есть $7 < \sqrt{50} < 8$.
Следовательно, искомое натуральное число — это либо 7, либо 8. Чтобы определить, какое из них ближе, сравним, к какому из квадратов (49 или 64) ближе число 50.
Разница между 50 и 49: $50 - 49 = 1$.
Разница между 64 и 50: $64 - 50 = 14$.
Так как 1 < 14, число 50 находится ближе к 49, чем к 64. Это означает, что $\sqrt{50}$ находится ближе к 7, чем к 8.
Ответ: 7.

б) Для числа $\sqrt{22}$ найдем два соседних квадрата натуральных чисел.
$4^2 = 16$ и $5^2 = 25$.
Неравенство $16 < 22 < 25$ означает, что $4 < \sqrt{22} < 5$.
Ближайшее натуральное число — это 4 или 5. Сравним расстояние от 22 до 16 и до 25.
Разница между 22 и 16: $22 - 16 = 6$.
Разница между 25 и 22: $25 - 22 = 3$.
Поскольку $3 < 6$, число 22 ближе к 25, чем к 16. Следовательно, $\sqrt{22}$ ближе к 5.
Ответ: 5.

в) Рассмотрим число $\sqrt{9,2}$. Найдем квадраты натуральных чисел, между которыми находится 9,2.
$3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Из неравенства $9 < 9,2 < 16$ следует, что $3 < \sqrt{9,2} < 4$.
Значит, ближайшее натуральное число — это 3 или 4. Определим, к какому из квадратов (9 или 16) число 9,2 находится ближе.
Разница между 9,2 и 9: $9,2 - 9 = 0,2$.
Разница между 16 и 9,2: $16 - 9,2 = 6,8$.
Так как $0,2 < 6,8$, число 9,2 намного ближе к 9, чем к 16. Значит, $\sqrt{9,2}$ ближе к 3.
Ответ: 3.

г) Для числа $\sqrt{33,7}$ найдем два соседних квадрата натуральных чисел.
$5^2 = 25$ и $6^2 = 36$.
Так как $25 < 33,7 < 36$, то $5 < \sqrt{33,7} < 6$.
Ближайшее натуральное число — это 5 или 6. Сравним, к какому из квадратов (25 или 36) ближе число 33,7.
Разница между 33,7 и 25: $33,7 - 25 = 8,7$.
Разница между 36 и 33,7: $36 - 33,7 = 2,3$.
Поскольку $2,3 < 8,7$, число 33,7 ближе к 36, чем к 25. Следовательно, $\sqrt{33,7}$ ближе к 6.
Ответ: 6.

д) Рассмотрим число $\sqrt{80,02}$. Найдем квадраты натуральных чисел, между которыми находится 80,02.
$8^2 = 64$ и $9^2 = 81$.
Из неравенства $64 < 80,02 < 81$ следует, что $8 < \sqrt{80,02} < 9$.
Ближайшее натуральное число — это 8 или 9. Сравним расстояние от 80,02 до 64 и до 81.
Разница между 80,02 и 64: $80,02 - 64 = 16,02$.
Разница между 81 и 80,02: $81 - 80,02 = 0,98$.
Так как $0,98 < 16,02$, число 80,02 находится гораздо ближе к 81, чем к 64. Это означает, что $\sqrt{80,02}$ ближе к 9.
Ответ: 9.

267 Найдите два натуральных числа, между которыми заключено указанное число, и определите, к какому из них оно ближе:

a) $\sqrt{73,25}$;

б) $\sqrt{20,42}$.

а) Чтобы найти два натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt{73,25}$, найдем ближайшие к подкоренному выражению 73,25 полные квадраты. Это $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$.

Так как $64 < 73,25 < 81$, то $\sqrt{64} < \sqrt{73,25} < \sqrt{81}$, следовательно $8 < \sqrt{73,25} < 9$. Таким образом, число заключено между натуральными числами 8 и 9.

Чтобы определить, к какому из этих чисел оно ближе, сравним $\sqrt{73,25}$ со средним арифметическим этих чисел, то есть с 8,5. Для этого достаточно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{73,25})^2 = 73,25$

$8,5^2 = 72,25$

Поскольку $73,25 > 72,25$, то и $\sqrt{73,25} > 8,5$. Это означает, что число $\sqrt{73,25}$ больше, чем середина отрезка $[8, 9]$, и, следовательно, оно ближе к 9.

Ответ: Число $\sqrt{73,25}$ заключено между натуральными числами 8 и 9, и оно ближе к 9.

б) Для числа $\sqrt{20,42}$ найдем ближайшие к подкоренному выражению 20,42 полные квадраты. Это $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$.

Так как $16 < 20,42 < 25$, то $\sqrt{16} < \sqrt{20,42} < \sqrt{25}$, следовательно $4 < \sqrt{20,42} < 5$. Таким образом, число заключено между натуральными числами 4 и 5.

Чтобы определить, к какому из этих чисел оно ближе, сравним $\sqrt{20,42}$ с серединой отрезка $[4, 5]$, то есть с 4,5, сравнивая их квадраты:

$(\sqrt{20,42})^2 = 20,42$

$4,5^2 = 20,25$

Поскольку $20,42 > 20,25$, то и $\sqrt{20,42} > 4,5$. Это означает, что число $\sqrt{20,42}$ больше, чем середина отрезка $[4, 5]$, и, следовательно, оно ближе к 5.

Ответ: Число $\sqrt{20,42}$ заключено между натуральными числами 4 и 5, и оно ближе к 5.

268 Укажите какое-нибудь рациональное число, заключённое между числами:

а) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7}$;

г) $1$ и $\sqrt{2}$.

Чтобы найти рациональное число между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, мы ищем число $x$, удовлетворяющее неравенству $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$. Поскольку все части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{2})^2 < x^2 < (\sqrt{3})^2$, что равносильно $2 < x^2 < 3$.

Теперь задача сводится к поиску рационального числа, квадрат которого находится между 2 и 3. Возьмем, к примеру, число $1,5$. Это рациональное число, так как $1,5 = \frac{3}{2}$. Проверим его квадрат: $1,5^2 = 2,25$.

Так как $2 < 2,25 < 3$, то исходное неравенство $\sqrt{2} < 1,5 < \sqrt{3}$ также верно. Следовательно, $1,5$ является подходящим рациональным числом.

Ответ: 1,5.

Ищем рациональное число $x$ такое, что $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$. Возведем все части неравенства в квадрат: $3 < x^2 < 5$.

Нам нужно найти рациональное число, квадрат которого лежит между 3 и 5. В этом интервале находится целое число 4, которое является полным квадратом: $4 = 2^2$.

Поскольку $3 < 4 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{4} < \sqrt{5}$, то есть $\sqrt{3} < 2 < \sqrt{5}$. Число 2 является целым, а значит, и рациональным (его можно записать как дробь $\frac{2}{1}$).

Ответ: 2.

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $\sqrt{5} < x < \sqrt{7}$. Возводим в квадрат: $5 < x^2 < 7$.

В интервале от 5 до 7 нет целых чисел, являющихся полными квадратами. Поэтому попробуем найти квадрат десятичной дроби. Возьмем число $2,5$. Это рациональное число, так как $2,5 = \frac{5}{2}$.

Вычислим его квадрат: $2,5^2 = 6,25$.

Так как $5 < 6,25 < 7$, то и $\sqrt{5} < \sqrt{6,25} < \sqrt{7}$, а значит, $\sqrt{5} < 2,5 < \sqrt{7}$.

Ответ: 2,5.

Ищем рациональное число $x$ такое, что $1 < x < \sqrt{2}$. Возведем неравенство в квадрат: $1^2 < x^2 < (\sqrt{2})^2$, то есть $1 < x^2 < 2$.

Нужно найти рациональное число, квадрат которого находится между 1 и 2. Приближенное значение $\sqrt{2}$ равно $1,414...$. Попробуем взять число, немного меньшее этого значения, например, $1,4$. Это рациональное число ($1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$).

Проверим его квадрат: $1,4^2 = 1,96$.

Поскольку $1 < 1,96 < 2$, то и $1 < 1,4 < \sqrt{2}$.

Ответ: 1,4.