Страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Рис. 2.20

$6 \text{ м}$

$4 \text{ м}$

$110 \text{ см}$

Рис. 2.21

$6 \text{ см}$

$6 \text{ см}$

$6 \text{ см}$

$B$

$C$

$A$

$D$

274

На какой высоте находится воздушный змей (рис. 2.20)?

Для определения высоты, на которой находится воздушный змей, необходимо проанализировать схему, представленную на рисунке 2.20. Общая высота змея от земли складывается из двух величин: высоты змея над уровнем рук человека и высоты самих рук от земли.

Сначала найдем высоту змея над руками человека. На рисунке видно, что верёвка змея (гипотенуза), горизонтальное расстояние до змея (катет) и искомая высота над руками (второй катет) образуют прямоугольный треугольник. Обозначим эту высоту как $h_1$.

Даны следующие значения:

• длина гипотенузы $c = 6$ м;
• длина одного катета $a = 4$ м.

Применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. В нашем случае $a^2 + h_1^2 = c^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$4^2 + h_1^2 = 6^2$

$16 + h_1^2 = 36$

Выразим $h_1^2$:

$h_1^2 = 36 - 16$

$h_1^2 = 20$

Теперь найдём $h_1$, взяв квадратный корень:

$h_1 = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ м.

Далее, к полученной высоте $h_1$ нужно прибавить высоту, на которой человек держит верёвку. Из рисунка видно, что эта высота $h_2 = 110$ см. Для выполнения сложения необходимо привести все величины к одной единице измерения — метрам.

$h_2 = 110 \text{ см} = 1.1 \text{ м}$.

Теперь найдём общую высоту $H$ змея от земли, сложив $h_1$ и $h_2$:

$H = h_1 + h_2 = (2\sqrt{5} + 1.1)$ м.

Для получения приближённого ответа можно использовать значение $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$H \approx 2 \times 2.236 + 1.1 = 4.472 + 1.1 = 5.572$ м.

Ответ: Воздушный змей находится на высоте $(2\sqrt{5} + 1.1)$ м от земли.

6 м

6 см

D

C

6 см

4 м

110 см

B

6 см

A

Рис. 2.20

Рис. 2.21

274 На какой высоте находится воздушный змей (рис. 2.20)?

275 Найдите длину отрезка $AD$ (рис. 2.21).

274

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный веревкой змея (гипотенуза), высотой змея над уровнем рук человека (один катет) и горизонтальным расстоянием (второй катет).

Пусть $h$ – это высота змея над уровнем рук человека. Длина веревки (гипотенуза) равна $c = 6$ м, а горизонтальное расстояние (катет) равно $b = 4$ м.

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза. В нашем случае $h^2 + 4^2 = 6^2$.

Найдем катет $h$:
$h^2 + 16 = 36$
$h^2 = 36 - 16$
$h^2 = 20$
$h = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ м.

Это высота змея относительно рук человека. Чтобы найти общую высоту от земли, нужно прибавить высоту, на которой человек держит змея. Эта высота составляет 110 см. Переведем ее в метры: 110 см = 1,1 м.

Общая высота $H$ равна:
$H = h + 1,1 = 2\sqrt{5} + 1,1$ м.

Ответ: $ (2\sqrt{5} + 1,1) $ м.

275

Чтобы найти длину отрезка $AD$, мы последовательно применим теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^\circ$). Катеты $AB = 6$ см и $BC = 6$ см. Гипотенуза – $AC$.

По теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$
$AC = \sqrt{72}$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ (угол $\angle C = 90^\circ$). Катеты $CD = 6$ см и $AC = \sqrt{72}$ см. Гипотенуза – $AD$.

По теореме Пифагора:
$AD^2 = AC^2 + CD^2$
$AD^2 = (\sqrt{72})^2 + 6^2 = 72 + 36 = 108$
$AD = \sqrt{108}$

Упростим полученный корень:
$AD = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ (276–280) Сделайте рисунок и решите задачу. Если в ответе получается иррациональное число, то дайте его десятичное приближение с одним знаком после запятой.

276 Основание лестницы находится в 2 м от стены, длина лестницы 5 м. На каком расстоянии от земли находится верхний конец лестницы?

Рисунок:

Изобразим стену, землю и лестницу в виде прямоугольного треугольника.

Решение:

В данной практической ситуации стена перпендикулярна земле, поэтому лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- один катет ($a$) — это расстояние от стены до основания лестницы, $a = 2$ м;
- гипотенуза ($c$) — это длина лестницы, $c = 5$ м;
- второй катет ($h$) — это искомое расстояние от земли до верхнего конца лестницы.

Для нахождения длины неизвестного катета $h$ применяем теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + h^2 = c^2$

Подставим известные значения в эту формулу:
$2^2 + h^2 = 5^2$

Выполним возведение в степень:
$4 + h^2 = 25$

Выразим $h^2$, перенеся 4 в правую часть уравнения:
$h^2 = 25 - 4$
$h^2 = 21$

Теперь найдем $h$, взяв квадратный корень из обеих частей уравнения:
$h = \sqrt{21}$ м.

Результат $h = \sqrt{21}$ является иррациональным числом. По условию задачи, необходимо дать его десятичное приближение с одним знаком после запятой.
Вычислим значение корня:
$h = \sqrt{21} \approx 4,5825...$ м.

Округляя полученное значение до одного знака после запятой, получаем:
$h \approx 4,6$ м.

Ответ: верхний конец лестницы находится на расстоянии примерно 4,6 м от земли.

277 Сквер в форме прямоугольника имеет длину 15 м и ширину 9 м. Какова длина прямой дорожки, пересекающей сквер по его диагонали?

Сквер имеет форму прямоугольника. Длина и ширина сквера являются сторонами этого прямоугольника, а дорожка, пересекающая сквер по диагонали, является его диагональю. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. В этих треугольниках стороны прямоугольника (длина и ширина) являются катетами, а диагональ – гипотенузой.

Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника по известным длинам катетов используется теорема Пифагора. Обозначим длину сквера как $a$, ширину как $b$, и длину диагональной дорожки как $d$.

По условию задачи:
Длина $a = 15$ м
Ширина $b = 9$ м

Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: $d^2 = a^2 + b^2$.

Подставим известные значения в формулу: $d^2 = 15^2 + 9^2$

Вычислим квадраты чисел: $15^2 = 225$
$9^2 = 81$

Теперь сложим полученные значения: $d^2 = 225 + 81$
$d^2 = 306$

Чтобы найти длину дорожки $d$, извлечем квадратный корень из 306: $d = \sqrt{306}$

Можно упростить корень, разложив 306 на множители: $306 = 9 \times 34$ $d = \sqrt{9 \times 34} = \sqrt{9} \times \sqrt{34} = 3\sqrt{34}$

Таким образом, точная длина дорожки составляет $3\sqrt{34}$ метров. Если требуется приблизительное значение, то $\sqrt{34} \approx 5.83$, тогда $d \approx 3 \times 5.83 \approx 17.49$ м. В задаче не указано, нужно ли округлять, поэтому оставим точный ответ.

Ответ: Длина прямой дорожки, пересекающей сквер по его диагонали, равна $\sqrt{306}$ м, или $3\sqrt{34}$ м.

278 Какова наибольшая длина трости, которую можно положить на дно чемодана размером $80 \times 60$ см?

Чтобы определить наибольшую длину трости, которую можно положить на дно чемодана, необходимо найти длину диагонали этого дна. Дно чемодана представляет собой прямоугольник с размерами 80 см на 60 см.

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника ($a$ и $b$) являются катетами этих треугольников, а сама диагональ ($c$) — их общей гипотенузой.

Для нахождения длины гипотенузы мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим известные значения сторон дна чемодана в формулу:

$a = 80$ см

$b = 60$ см

Теперь вычислим длину диагонали $c$:

$c^2 = 80^2 + 60^2$

$c^2 = 6400 + 3600$

$c^2 = 10000$

Чтобы найти $c$, извлечем квадратный корень из 10000:

$c = \sqrt{10000}$

$c = 100$ см

Таким образом, максимальная длина трости, которая поместится на дно чемодана, равна длине его диагонали.

Ответ: 100 см.

279 Диагональ телевизионного экрана 50 см, длины его сторон относятся как 3 : 4. Чему равны длины сторон экрана?

Экран телевизора имеет прямоугольную форму. Его стороны и диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон экрана. По условию, их отношение равно $3:4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно записать как:
$a = 3x$
$b = 4x$

Длина диагонали $d$ равна 50 см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения и выражения в формулу:
$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$9x^2 + 16x^2 = 2500$
$25x^2 = 2500$
$x^2 = \frac{2500}{25}$
$x^2 = 100$
$x = \sqrt{100}$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня:
$x = 10$

Зная коэффициент пропорциональности, найдем длины сторон экрана:
Сторона $a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ см.
Сторона $b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Ответ: длины сторон экрана равны 30 см и 40 см.

280 Найтите диагональ квадрата, если его площадь равна:

a) $25 \text{ см}^2$;

б) $30 \text{ см}^2$.

Для нахождения диагонали квадрата по его площади, мы можем использовать два основных подхода.

Способ 1: Через сторону квадрата.
Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$.
Диагональ $d$ квадрата является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются стороны квадрата $a$. По теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Отсюда $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Способ 2: Через формулу площади через диагональ.
Из первого способа мы знаем, что $a^2 = S$ и $d^2 = 2a^2$. Подставив $S$ вместо $a^2$, получим: $d^2 = 2S$. Следовательно, площадь можно выразить как $S = \frac{d^2}{2}$. А диагональ как $d = \sqrt{2S}$. Используем второй, более быстрый, способ для решения.

а)

Площадь квадрата $S = 25 \text{ см}^2$. Найдем диагональ $d$ по формуле $d = \sqrt{2S}$: $d = \sqrt{2 \times 25} = \sqrt{50}$ см. Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см.
Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

б)

Площадь квадрата $S = 30 \text{ см}^2$. Найдем диагональ $d$ по той же формуле $d = \sqrt{2S}$: $d = \sqrt{2 \times 30} = \sqrt{60}$ см. Упростим полученное значение: $\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{4} \times \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$ см.
Ответ: $2\sqrt{15}$ см.

281 Группа туристов прошла от своего лагеря 1,6 км строго на запад, затем 3,2 км на север, а затем несколько километров на восток и остановилась на ночлег. Точка ночлега находилась в 6,4 км от их лагеря. Сколько километров туристы шли в восточном направлении?

Для решения задачи представим перемещения туристов в виде векторов в двумерной системе координат. Пусть лагерь находится в начале координат (0,0), ось X будет направлена на восток, а ось Y — на север.

Перемещение туристов можно разбить на три этапа, каждый из которых представляет собой вектор:

1. Движение на 1,6 км на запад. Это смещение против оси X, поэтому вектор этого перемещения имеет координаты $(-1,6; 0)$.

2. Движение на 3,2 км на север. Это смещение вдоль оси Y, вектор этого перемещения — $(0; 3,2)$.

3. Движение на $x$ км на восток (где $x$ — искомое расстояние). Это смещение вдоль оси X, вектор — $(x; 0)$.

Чтобы найти конечное положение туристов относительно лагеря, нужно сложить векторы всех перемещений. Итоговый вектор смещения $\vec{S}$ будет иметь координаты, равные сумме координат составляющих векторов:

$\vec{S} = (-1,6 + 0 + x; 0 + 3,2 + 0) = (x - 1,6; 3,2)$

Длина этого вектора (его модуль) — это и есть расстояние от лагеря до точки ночлега, которое по условию задачи равно 6,4 км. Длина вектора $\vec{S}$ с координатами $(S_x, S_y)$ вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора:

$|\vec{S}| = \sqrt{S_x^2 + S_y^2}$

Подставим наши значения в эту формулу:

$\sqrt{(x - 1,6)^2 + (3,2)^2} = 6,4$

Для решения этого уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(x - 1,6)^2 + (3,2)^2 = (6,4)^2$

Вычислим квадраты чисел:

$(x - 1,6)^2 + 10,24 = 40,96$

Перенесем 10,24 в правую часть уравнения:

$(x - 1,6)^2 = 40,96 - 10,24$

$(x - 1,6)^2 = 30,72$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Это дает два возможных варианта:

$x - 1,6 = \pm\sqrt{30,72}$

Упростим выражение под корнем. Заметим, что $30,72 = 3 \times 10,24 = 3 \times (3,2)^2$.

$\sqrt{30,72} = \sqrt{3 \times (3,2)^2} = 3,2\sqrt{3}$

Таким образом, мы получаем два возможных уравнения для $x$:

1) $x - 1,6 = 3,2\sqrt{3} \implies x = 1,6 + 3,2\sqrt{3}$

2) $x - 1,6 = -3,2\sqrt{3} \implies x = 1,6 - 3,2\sqrt{3}$

Поскольку $x$ — это пройденное расстояние, оно должно быть положительной величиной. Оценим второе решение: зная, что $\sqrt{3} \approx 1,732$, получаем $3,2\sqrt{3} \approx 5,54$. Тогда $x \approx 1,6 - 5,54 = -3,94$. Так как расстояние не может быть отрицательным, это решение не подходит.

Следовательно, единственным верным решением является первое. Расстояние, которое туристы прошли в восточном направлении, равно $x = 1,6 + 3,2\sqrt{3}$ км.

Ответ: $1,6 + 3,2\sqrt{3}$ км (приблизительно 7,14 км).

282 Квадрат, площадь которого равна $36 \text{ см}^2$, вписан в круг (рис. 2.22). Найдите радиус круга.

Рис. 2.22

Обозначим сторону квадрата как a. Площадь квадрата S вычисляется по формуле $S = a^2$.

По условию задачи, площадь квадрата равна $36 \text{ см}^2$. Следовательно, мы можем найти длину его стороны:
$a^2 = 36$
$a = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Когда квадрат вписан в круг, его диагональ d совпадает с диаметром круга D. Из рисунка видно, что диаметр круга равен двум радиусам, то есть $D = 2r$. Таким образом, $d = 2r$.

Диагональ квадрата, вместе с двумя его сторонами, образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (диагонали) равен сумме квадратов катетов (сторон):
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставим найденное значение стороны $a = 6 \text{ см}$ в эту формулу:
$d^2 = 2 \times 6^2 = 2 \times 36 = 72$
$d = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$.

Теперь, зная длину диагонали, найдем радиус круга:
$2r = d$
$2r = 6\sqrt{2}$
$r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $3\sqrt{2} \text{ см}$.