Номер 281, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 281, страница 80.

Условие.

281 Группа туристов прошла от своего лагеря 1,6 км строго на запад, затем 3,2 км на север, а затем несколько километров на восток и остановилась на ночлег. Точка ночлега находилась в 6,4 км от их лагеря. Сколько километров туристы шли в восточном направлении?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи представим перемещения туристов в виде векторов в двумерной системе координат. Пусть лагерь находится в начале координат (0,0), ось X будет направлена на восток, а ось Y — на север.

Перемещение туристов можно разбить на три этапа, каждый из которых представляет собой вектор:

1. Движение на 1,6 км на запад. Это смещение против оси X, поэтому вектор этого перемещения имеет координаты $(-1,6; 0)$.

2. Движение на 3,2 км на север. Это смещение вдоль оси Y, вектор этого перемещения — $(0; 3,2)$.

3. Движение на $x$ км на восток (где $x$ — искомое расстояние). Это смещение вдоль оси X, вектор — $(x; 0)$.

Чтобы найти конечное положение туристов относительно лагеря, нужно сложить векторы всех перемещений. Итоговый вектор смещения $\vec{S}$ будет иметь координаты, равные сумме координат составляющих векторов:

$\vec{S} = (-1,6 + 0 + x; 0 + 3,2 + 0) = (x - 1,6; 3,2)$

Длина этого вектора (его модуль) — это и есть расстояние от лагеря до точки ночлега, которое по условию задачи равно 6,4 км. Длина вектора $\vec{S}$ с координатами $(S_x, S_y)$ вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора:

$|\vec{S}| = \sqrt{S_x^2 + S_y^2}$

Подставим наши значения в эту формулу:

$\sqrt{(x - 1,6)^2 + (3,2)^2} = 6,4$

Для решения этого уравнения возведем обе его части в квадрат:

$(x - 1,6)^2 + (3,2)^2 = (6,4)^2$

Вычислим квадраты чисел:

$(x - 1,6)^2 + 10,24 = 40,96$

Перенесем 10,24 в правую часть уравнения:

$(x - 1,6)^2 = 40,96 - 10,24$

$(x - 1,6)^2 = 30,72$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Это дает два возможных варианта:

$x - 1,6 = \pm\sqrt{30,72}$

Упростим выражение под корнем. Заметим, что $30,72 = 3 \times 10,24 = 3 \times (3,2)^2$.

$\sqrt{30,72} = \sqrt{3 \times (3,2)^2} = 3,2\sqrt{3}$

Таким образом, мы получаем два возможных уравнения для $x$:

1) $x - 1,6 = 3,2\sqrt{3} \implies x = 1,6 + 3,2\sqrt{3}$

2) $x - 1,6 = -3,2\sqrt{3} \implies x = 1,6 - 3,2\sqrt{3}$

Поскольку $x$ — это пройденное расстояние, оно должно быть положительной величиной. Оценим второе решение: зная, что $\sqrt{3} \approx 1,732$, получаем $3,2\sqrt{3} \approx 5,54$. Тогда $x \approx 1,6 - 5,54 = -3,94$. Так как расстояние не может быть отрицательным, это решение не подходит.

Следовательно, единственным верным решением является первое. Расстояние, которое туристы прошли в восточном направлении, равно $x = 1,6 + 3,2\sqrt{3}$ км.

Ответ: $1,6 + 3,2\sqrt{3}$ км (приблизительно 7,14 км).