Номер 286, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 286, страница 81.

Условие.

286 а) Убедитесь, что $\sqrt{3^2 + 4^2} \ne 3 + 4$. Покажите геометрически, что если $a$ и $b$ – положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

б) Покажите геометрически, что если $a$, $b$ и $c$ – положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Сначала проверим утверждение $\sqrt{3^2 + 4^2} \neq 3 + 4$.

Вычислим значение выражения в левой части:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Вычислим значение выражения в правой части:

$3 + 4 = 7$.

Сравнивая результаты, получаем $5 \neq 7$. Утверждение верно.

Теперь покажем геометрически, что если $a$ и $b$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы этого треугольника равна $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Одним из фундаментальных свойств любого треугольника является неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Применительно к нашему прямоугольному треугольнику это означает, что гипотенуза короче суммы катетов:

$c < a + b$

Подставив выражение для гипотенузы, получаем:

$\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

Геометрический смысл этого неравенства в том, что кратчайший путь между двумя точками (в нашем случае, между вершинами острых углов треугольника) — это прямая линия (гипотенуза), и этот путь короче, чем путь по ломаной линии (вдоль катетов). Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, треугольник является невырожденным, поэтому неравенство строгое.

Ответ: Неравенство доказано с помощью неравенства треугольника, примененного к прямоугольному треугольнику с катетами $a$ и $b$.

б)

Покажем геометрически, что если $a$, $b$ и $c$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$.

Выражение $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ равно длине пространственной диагонали этого параллелепипеда (отрезка, соединяющего две противоположные вершины).

Сумма $a + b + c$ равна длине пути вдоль трёх рёбер, соединяющих те же самые две противоположные вершины.

В трёхмерном пространстве, как и на плоскости, кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, их соединяющего. Любой другой путь (например, по ломаной линии вдоль рёбер) будет длиннее.

Следовательно, длина пространственной диагонали (прямой путь) меньше, чем длина пути вдоль рёбер:

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Это также можно показать, применив неравенство треугольника дважды.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник в основании параллелепипеда с катетами $a$ и $b$. Его гипотенуза — это диагональ основания, её длина $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Из пункта а) мы знаем, что $d < a + b$.

2. Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются диагональ основания $d$ и боковое ребро $c$. Гипотенузой этого треугольника является как раз пространственная диагональ параллелепипеда. По неравенству треугольника для этой фигуры:

$\sqrt{d^2 + c^2} < d + c$.

Подставим сюда $d^2 = a^2 + b^2$:

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < d + c$.

А так как мы знаем, что $d < a + b$, то мы можем записать:

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < d + c < (a+b) + c = a + b + c$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство геометрически представляет собой тот факт, что длина пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда меньше суммы длин трёх его измерений.