Номер 287, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 287, страница 81.

Условие.

287 Исследуем На рисунке 2.24 шесть отрезков имеют длину, равную 1.

1) Найдите длины отрезков AB, AD, AE, AF, AG.

2) Постройте такую же фигуру в тетради и достройте её так, чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$.

Рис. 2.22

Рис. 2.23

Рис. 2.24

3) Отрезки длиной $\sqrt{10}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{17}$ можно получить, продолжив построение этой фигуры. Но для этих длин можно применить и более простой приём. Догадайтесь какой и постройте отрезки с указанными длинами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Найдите длины отрезков AB, AD, AE, AF, AG.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), последовательно находя длины гипотенуз в цепочке прямоугольных треугольников, изображенных на рисунке 2.24. В каждом новом треугольнике гипотенуза предыдущего становится катетом, а второй катет равен 1.

В прямоугольном треугольнике $ACB$ ($\angle C = 90^\circ$) с катетами $AC=1$ и $BC=1$ гипотенуза $AB$ равна:$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies AB = \sqrt{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ADB$ ($\angle B = 90^\circ$) с катетами $AB=\sqrt{2}$ и $BD=1$ гипотенуза $AD$ равна:$AD^2 = AB^2 + BD^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 \implies AD = \sqrt{3}$.

В прямоугольном треугольнике $AED$ ($\angle D = 90^\circ$) с катетами $AD=\sqrt{3}$ и $DE=1$ гипотенуза $AE$ равна:$AE^2 = AD^2 + DE^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \implies AE = \sqrt{4} = 2$.

В прямоугольном треугольнике $AFE$ ($\angle E = 90^\circ$) с катетами $AE=2$ и $EF=1$ гипотенуза $AF$ равна:$AF^2 = AE^2 + EF^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \implies AF = \sqrt{5}$.

В прямоугольном треугольнике $AGF$ ($\angle F = 90^\circ$) с катетами $AF=\sqrt{5}$ и $FG=1$ гипотенуза $AG$ равна:$AG^2 = AF^2 + FG^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5 + 1 = 6 \implies AG = \sqrt{6}$.

Ответ: $AB = \sqrt{2}$, $AD = \sqrt{3}$, $AE = 2$, $AF = \sqrt{5}$, $AG = \sqrt{6}$.

2) Постройте такую же фигуру в тетради и достройте её так, чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$.

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$, нужно продолжить построение "спирали" из прямоугольных треугольников. Мы уже знаем, что длина отрезка $AG$ равна $\sqrt{6}$.

Первый шаг достройки: на отрезке $AG$ как на катете строим прямоугольный треугольник $AGH$ ($\angle G = 90^\circ$). Второй катет $GH$ берем равным 1. Длина гипотенузы $AH$ будет:$AH^2 = AG^2 + GH^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2 = 6 + 1 = 7 \implies AH = \sqrt{7}$.

Второй шаг достройки: на полученном отрезке $AH$ как на катете строим прямоугольный треугольник $AHI$ ($\angle H = 90^\circ$). Второй катет $HI$ также берем равным 1. Длина гипотенузы $AI$ будет:$AI^2 = AH^2 + HI^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7 + 1 = 8 \implies AI = \sqrt{8}$.

Таким образом, для получения отрезка длиной $\sqrt{8}$, необходимо достроить к исходной фигуре последовательно два прямоугольных треугольника с катетом, равным 1. Искомый отрезок — это $AI$.

Ответ: Необходимо последовательно достроить два прямоугольных треугольника: $\triangle AGH$ с катетами $AG$ и $GH=1$ (гипотенуза $AH = \sqrt{7}$), а затем $\triangle AHI$ с катетами $AH$ и $HI=1$. Гипотенуза $AI$ будет иметь длину $\sqrt{8}$.

3) Отрезки длиной $\sqrt{10}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{17}$ можно получить, продолжив построение этой фигуры. Но для этих длин можно применить и более простой приём. Догадайтесь какой и постройте отрезки с указанными длинами.

Более простой приём заключается в построении одного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого будет иметь требуемую длину. Для этого нужно представить подкоренное число в виде суммы квадратов двух целых чисел ($c = a^2 + b^2$). Эти числа, $a$ и $b$, будут длинами катетов. Построив такой прямоугольный треугольник, мы получим гипотенузу длиной $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c}$.

Для отрезка длиной $\sqrt{10}$ представляем 10 как сумму квадратов: $10 = 3^2 + 1^2$.Следовательно, строим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 1. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.

Для отрезка длиной $\sqrt{13}$ представляем 13 как сумму квадратов: $13 = 3^2 + 2^2$.Следовательно, строим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 2. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.

Для отрезка длиной $\sqrt{17}$ представляем 17 как сумму квадратов: $17 = 4^2 + 1^2$.Следовательно, строим прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$.

Построение: Для каждого случая нужно начертить две перпендикулярные прямые. От точки их пересечения отложить на одной прямой длину катета $a$, а на другой — длину катета $b$. Отрезок, соединяющий концы полученных отрезков, является гипотенузой искомой длины.

Ответ: Простой приём — это построение гипотенузы прямоугольного треугольника с целочисленными катетами $a$ и $b$, такими что $a^2+b^2$ равно подкоренному выражению. Для $\sqrt{10}$ строим треугольник с катетами 3 и 1. Для $\sqrt{13}$ — с катетами 3 и 2. Для $\sqrt{17}$ — с катетами 4 и 1.