Номер 283, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 283, страница 81.

Условие.

283 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

На координатной плоскости отмечены точки A и B. Найдите расстояние между этими точками, если известны их координаты (сделайте рисунок):

1) $A (1; 8)$, $B (7; 0)$;

2) $A (1; 3)$, $B (13; 8)$;

3) $A (80; 54)$, $B (83; 50)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ на координатной плоскости используется формула, которая является следствием теоремы Пифагора:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Чтобы сделать рисунок, нужно отметить точки A и B на координатной плоскости и соединить их отрезком. Этот отрезок будет гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого параллельны осям координат. Длины катетов равны модулям разности соответствующих координат: $|x_B - x_A|$ и $|y_B - y_A|$.

1) A (1; 8), B (7; 0);

Рисунок: На координатной плоскости отмечаем точки A(1; 8) и B(7; 0). Соединяем их отрезком AB. Чтобы увидеть прямоугольный треугольник, проведем через точку A прямую, параллельную оси Ox, а через точку B — прямую, параллельную оси Oy. Точка их пересечения C будет иметь координаты (7; 8). Треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C. Катет AC имеет длину $|7 - 1| = 6$, а катет BC имеет длину $|8 - 0| = 8$.

Решение: Подставим координаты точек в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

2) A (1; 3), B (13; 8);

Рисунок: Отмечаем на координатной плоскости точки A(1; 3) и B(13; 8). Отрезок AB является гипотенузой прямоугольного треугольника, который можно построить, проведя через точку A прямую, параллельную оси Ox, а через точку B — прямую, параллельную оси Oy. Точка пересечения C будет иметь координаты (13; 3). Длина катета AC равна $|13 - 1| = 12$, а длина катета BC равна $|8 - 3| = 5$.

Решение: Применим формулу расстояния между точками:

$AB = \sqrt{(13 - 1)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13.

3) A (80; 54), B (83; 50).

Рисунок: Схематично изобразим точки A(80; 54) и B(83; 50). Достроим прямоугольный треугольник, где AB — гипотенуза. Проведем через точку A прямую, параллельную оси Oy, а через точку B — прямую, параллельную оси Ox. Точка их пересечения C будет иметь координаты (80; 50). Длина катета BC (горизонтального) равна $|83 - 80| = 3$. Длина катета AC (вертикального) равна $|54 - 50| = 4$.

Решение: Вычислим расстояние по формуле:

$AB = \sqrt{(83 - 80)^2 + (50 - 54)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.