Страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

283 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

На координатной плоскости отмечены точки A и B. Найдите расстояние между этими точками, если известны их координаты (сделайте рисунок):

1) $A (1; 8)$, $B (7; 0)$;

2) $A (1; 3)$, $B (13; 8)$;

3) $A (80; 54)$, $B (83; 50)$.

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ на координатной плоскости используется формула, которая является следствием теоремы Пифагора:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Чтобы сделать рисунок, нужно отметить точки A и B на координатной плоскости и соединить их отрезком. Этот отрезок будет гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого параллельны осям координат. Длины катетов равны модулям разности соответствующих координат: $|x_B - x_A|$ и $|y_B - y_A|$.

1) A (1; 8), B (7; 0);

Рисунок: На координатной плоскости отмечаем точки A(1; 8) и B(7; 0). Соединяем их отрезком AB. Чтобы увидеть прямоугольный треугольник, проведем через точку A прямую, параллельную оси Ox, а через точку B — прямую, параллельную оси Oy. Точка их пересечения C будет иметь координаты (7; 8). Треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C. Катет AC имеет длину $|7 - 1| = 6$, а катет BC имеет длину $|8 - 0| = 8$.

Решение: Подставим координаты точек в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

2) A (1; 3), B (13; 8);

Рисунок: Отмечаем на координатной плоскости точки A(1; 3) и B(13; 8). Отрезок AB является гипотенузой прямоугольного треугольника, который можно построить, проведя через точку A прямую, параллельную оси Ox, а через точку B — прямую, параллельную оси Oy. Точка пересечения C будет иметь координаты (13; 3). Длина катета AC равна $|13 - 1| = 12$, а длина катета BC равна $|8 - 3| = 5$.

Решение: Применим формулу расстояния между точками:

$AB = \sqrt{(13 - 1)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13.

3) A (80; 54), B (83; 50).

Рисунок: Схематично изобразим точки A(80; 54) и B(83; 50). Достроим прямоугольный треугольник, где AB — гипотенуза. Проведем через точку A прямую, параллельную оси Oy, а через точку B — прямую, параллельную оси Ox. Точка их пересечения C будет иметь координаты (80; 50). Длина катета BC (горизонтального) равна $|83 - 80| = 3$. Длина катета AC (вертикального) равна $|54 - 50| = 4$.

Решение: Вычислим расстояние по формуле:

$AB = \sqrt{(83 - 80)^2 + (50 - 54)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

284 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Можно ли трость длиной 100 см поместить в коробку, длина которой 80 см, ширина 30 см и высота 50 см?

Чтобы определить, поместится ли трость в коробку, нужно найти самое большое расстояние внутри этой коробки. Самое большое расстояние в прямоугольном параллелепипеде — это его пространственная (или главная) диагональ, соединяющая две самые удаленные друг от друга вершины. Если длина трости меньше или равна длине этой диагонали, то она поместится.

Нам даны следующие размеры:
Длина трости $L = 100$ см.
Длина коробки $a = 80$ см.
Ширина коробки $b = 30$ см.
Высота коробки $c = 50$ см.

Квадрат пространственной диагонали ($d^2$) прямоугольного параллелепипеда находится по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для трех измерений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим в формулу известные размеры коробки и вычислим квадрат ее диагонали:
$d^2 = 80^2 + 30^2 + 50^2$
$d^2 = 6400 + 900 + 2500$
$d^2 = 9800$

Теперь, чтобы сравнить длину трости с диагональю коробки, можно сравнить квадраты их длин. Найдем квадрат длины трости:
$L^2 = 100^2 = 10000$

Сравним полученные значения:
$L^2 = 10000$
$d^2 = 9800$
Поскольку $10000 > 9800$, то и $L^2 > d^2$, а значит $L > d$.

Длина трости (100 см) оказывается больше, чем длина главной диагонали коробки ($\sqrt{9800} \approx 98.99$ см). Следовательно, трость не поместится в коробку.

Ответ: нет, трость поместить в коробку нельзя.

РАССУЖДАЕМ (285–286)

285 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения $a$, $b$ и $c$ (рис. 2.23).

а) Выразите диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда че-рез его измерения.

б) Используя полученную формулу, вычислите $d$, если $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 12$ см.

в) Выразите из полученной формулы ребро $c$. Найдите $c$, если $d = 17$ см, $a = 9$ см, $b = 12$ см.

Рис. 2.23

а) Чтобы выразить диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда через его измерения $a$, $b$ и $c$, необходимо дважды применить теорему Пифагора. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Рассмотрим сначала диагональ основания параллелепипеда, которая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$. Обозначим эту диагональ $d_{осн}$. По теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$.
Далее, главная диагональ параллелепипеда $d$ является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого служат диагональ основания $d_{осн}$ и боковое ребро $c$. По теореме Пифагора для этого треугольника:
$d^2 = d_{осн}^2 + c^2$.
Подставив в это выражение найденное ранее значение для $d_{осн}^2$, получим:
$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем итоговую формулу для диагонали $d$:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
Ответ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

б) Для вычисления длины диагонали $d$ воспользуемся полученной формулой, подставив в нее заданные значения измерений: $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 12$ см.
$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}$.
Выполним вычисления по шагам:
1. Возводим в квадрат каждое из измерений: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $12^2 = 144$.
2. Складываем полученные значения: $9 + 16 + 144 = 25 + 144 = 169$.
3. Извлекаем квадратный корень из суммы: $d = \sqrt{169} = 13$.
Таким образом, длина диагонали составляет 13 см.
Ответ: $d = 13$ см.

в) Сначала выразим ребро $c$ из формулы для квадрата диагонали $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Для этого нужно изолировать слагаемое $c^2$:
$c^2 = d^2 - a^2 - b^2$.
Теперь, чтобы найти $c$, извлечем квадратный корень из правой части уравнения:
$c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}$.
Теперь, используя эту формулу, найдем длину ребра $c$ при заданных значениях: $d = 17$ см, $a = 9$ см, $b = 12$ см.
$c = \sqrt{17^2 - 9^2 - 12^2}$.
Выполним вычисления по шагам:
1. Возводим в квадрат заданные значения: $17^2 = 289$, $9^2 = 81$, $12^2 = 144$.
2. Подставляем квадраты в формулу: $c = \sqrt{289 - 81 - 144}$.
3. Выполняем вычитание под корнем: $c = \sqrt{208 - 144} = \sqrt{64}$.
4. Извлекаем квадратный корень: $c = 8$.
Таким образом, длина ребра $c$ составляет 8 см.
Ответ: $c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}$; $c = 8$ см.

286 а) Убедитесь, что $\sqrt{3^2 + 4^2} \ne 3 + 4$. Покажите геометрически, что если $a$ и $b$ – положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

б) Покажите геометрически, что если $a$, $b$ и $c$ – положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

а)

Сначала проверим утверждение $\sqrt{3^2 + 4^2} \neq 3 + 4$.

Вычислим значение выражения в левой части:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Вычислим значение выражения в правой части:

$3 + 4 = 7$.

Сравнивая результаты, получаем $5 \neq 7$. Утверждение верно.

Теперь покажем геометрически, что если $a$ и $b$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы этого треугольника равна $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Одним из фундаментальных свойств любого треугольника является неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Применительно к нашему прямоугольному треугольнику это означает, что гипотенуза короче суммы катетов:

$c < a + b$

Подставив выражение для гипотенузы, получаем:

$\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

Геометрический смысл этого неравенства в том, что кратчайший путь между двумя точками (в нашем случае, между вершинами острых углов треугольника) — это прямая линия (гипотенуза), и этот путь короче, чем путь по ломаной линии (вдоль катетов). Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, треугольник является невырожденным, поэтому неравенство строгое.

Ответ: Неравенство доказано с помощью неравенства треугольника, примененного к прямоугольному треугольнику с катетами $a$ и $b$.

б)

Покажем геометрически, что если $a$, $b$ и $c$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$.

Выражение $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ равно длине пространственной диагонали этого параллелепипеда (отрезка, соединяющего две противоположные вершины).

Сумма $a + b + c$ равна длине пути вдоль трёх рёбер, соединяющих те же самые две противоположные вершины.

В трёхмерном пространстве, как и на плоскости, кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, их соединяющего. Любой другой путь (например, по ломаной линии вдоль рёбер) будет длиннее.

Следовательно, длина пространственной диагонали (прямой путь) меньше, чем длина пути вдоль рёбер:

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Это также можно показать, применив неравенство треугольника дважды.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник в основании параллелепипеда с катетами $a$ и $b$. Его гипотенуза — это диагональ основания, её длина $d = \sqrt{a^2 + b^2}$. Из пункта а) мы знаем, что $d < a + b$.

2. Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются диагональ основания $d$ и боковое ребро $c$. Гипотенузой этого треугольника является как раз пространственная диагональ параллелепипеда. По неравенству треугольника для этой фигуры:

$\sqrt{d^2 + c^2} < d + c$.

Подставим сюда $d^2 = a^2 + b^2$:

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < d + c$.

А так как мы знаем, что $d < a + b$, то мы можем записать:

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < d + c < (a+b) + c = a + b + c$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство геометрически представляет собой тот факт, что длина пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда меньше суммы длин трёх его измерений.

287 Исследуем На рисунке 2.24 шесть отрезков имеют длину, равную 1.

1) Найдите длины отрезков AB, AD, AE, AF, AG.

2) Постройте такую же фигуру в тетради и достройте её так, чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$.

Рис. 2.22

Рис. 2.23

Рис. 2.24

3) Отрезки длиной $\sqrt{10}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{17}$ можно получить, продолжив построение этой фигуры. Но для этих длин можно применить и более простой приём. Догадайтесь какой и постройте отрезки с указанными длинами.

1) Найдите длины отрезков AB, AD, AE, AF, AG.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), последовательно находя длины гипотенуз в цепочке прямоугольных треугольников, изображенных на рисунке 2.24. В каждом новом треугольнике гипотенуза предыдущего становится катетом, а второй катет равен 1.

В прямоугольном треугольнике $ACB$ ($\angle C = 90^\circ$) с катетами $AC=1$ и $BC=1$ гипотенуза $AB$ равна:$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies AB = \sqrt{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ADB$ ($\angle B = 90^\circ$) с катетами $AB=\sqrt{2}$ и $BD=1$ гипотенуза $AD$ равна:$AD^2 = AB^2 + BD^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 \implies AD = \sqrt{3}$.

В прямоугольном треугольнике $AED$ ($\angle D = 90^\circ$) с катетами $AD=\sqrt{3}$ и $DE=1$ гипотенуза $AE$ равна:$AE^2 = AD^2 + DE^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \implies AE = \sqrt{4} = 2$.

В прямоугольном треугольнике $AFE$ ($\angle E = 90^\circ$) с катетами $AE=2$ и $EF=1$ гипотенуза $AF$ равна:$AF^2 = AE^2 + EF^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \implies AF = \sqrt{5}$.

В прямоугольном треугольнике $AGF$ ($\angle F = 90^\circ$) с катетами $AF=\sqrt{5}$ и $FG=1$ гипотенуза $AG$ равна:$AG^2 = AF^2 + FG^2 = (\sqrt{5})^2 + 1^2 = 5 + 1 = 6 \implies AG = \sqrt{6}$.

Ответ: $AB = \sqrt{2}$, $AD = \sqrt{3}$, $AE = 2$, $AF = \sqrt{5}$, $AG = \sqrt{6}$.

2) Постройте такую же фигуру в тетради и достройте её так, чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$.

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$, нужно продолжить построение "спирали" из прямоугольных треугольников. Мы уже знаем, что длина отрезка $AG$ равна $\sqrt{6}$.

Первый шаг достройки: на отрезке $AG$ как на катете строим прямоугольный треугольник $AGH$ ($\angle G = 90^\circ$). Второй катет $GH$ берем равным 1. Длина гипотенузы $AH$ будет:$AH^2 = AG^2 + GH^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2 = 6 + 1 = 7 \implies AH = \sqrt{7}$.

Второй шаг достройки: на полученном отрезке $AH$ как на катете строим прямоугольный треугольник $AHI$ ($\angle H = 90^\circ$). Второй катет $HI$ также берем равным 1. Длина гипотенузы $AI$ будет:$AI^2 = AH^2 + HI^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7 + 1 = 8 \implies AI = \sqrt{8}$.

Таким образом, для получения отрезка длиной $\sqrt{8}$, необходимо достроить к исходной фигуре последовательно два прямоугольных треугольника с катетом, равным 1. Искомый отрезок — это $AI$.

Ответ: Необходимо последовательно достроить два прямоугольных треугольника: $\triangle AGH$ с катетами $AG$ и $GH=1$ (гипотенуза $AH = \sqrt{7}$), а затем $\triangle AHI$ с катетами $AH$ и $HI=1$. Гипотенуза $AI$ будет иметь длину $\sqrt{8}$.

3) Отрезки длиной $\sqrt{10}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{17}$ можно получить, продолжив построение этой фигуры. Но для этих длин можно применить и более простой приём. Догадайтесь какой и постройте отрезки с указанными длинами.

Более простой приём заключается в построении одного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого будет иметь требуемую длину. Для этого нужно представить подкоренное число в виде суммы квадратов двух целых чисел ($c = a^2 + b^2$). Эти числа, $a$ и $b$, будут длинами катетов. Построив такой прямоугольный треугольник, мы получим гипотенузу длиной $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c}$.

Для отрезка длиной $\sqrt{10}$ представляем 10 как сумму квадратов: $10 = 3^2 + 1^2$.Следовательно, строим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 1. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.

Для отрезка длиной $\sqrt{13}$ представляем 13 как сумму квадратов: $13 = 3^2 + 2^2$.Следовательно, строим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 2. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.

Для отрезка длиной $\sqrt{17}$ представляем 17 как сумму квадратов: $17 = 4^2 + 1^2$.Следовательно, строим прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$.

Построение: Для каждого случая нужно начертить две перпендикулярные прямые. От точки их пересечения отложить на одной прямой длину катета $a$, а на другой — длину катета $b$. Отрезок, соединяющий концы полученных отрезков, является гипотенузой искомой длины.

Ответ: Простой приём — это построение гипотенузы прямоугольного треугольника с целочисленными катетами $a$ и $b$, такими что $a^2+b^2$ равно подкоренному выражению. Для $\sqrt{10}$ строим треугольник с катетами 3 и 1. Для $\sqrt{13}$ — с катетами 3 и 2. Для $\sqrt{17}$ — с катетами 4 и 1.