Номер 285, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 285, страница 81.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (285–286)

285 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения $a$, $b$ и $c$ (рис. 2.23).

а) Выразите диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда че-рез его измерения.

б) Используя полученную формулу, вычислите $d$, если $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 12$ см.

в) Выразите из полученной формулы ребро $c$. Найдите $c$, если $d = 17$ см, $a = 9$ см, $b = 12$ см.

Рис. 2.23

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы выразить диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда через его измерения $a$, $b$ и $c$, необходимо дважды применить теорему Пифагора. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Рассмотрим сначала диагональ основания параллелепипеда, которая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$. Обозначим эту диагональ $d_{осн}$. По теореме Пифагора:
$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$.
Далее, главная диагональ параллелепипеда $d$ является гипотенузой в другом прямоугольном треугольнике, катетами которого служат диагональ основания $d_{осн}$ и боковое ребро $c$. По теореме Пифагора для этого треугольника:
$d^2 = d_{осн}^2 + c^2$.
Подставив в это выражение найденное ранее значение для $d_{осн}^2$, получим:
$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем итоговую формулу для диагонали $d$:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
Ответ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

б) Для вычисления длины диагонали $d$ воспользуемся полученной формулой, подставив в нее заданные значения измерений: $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 12$ см.
$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}$.
Выполним вычисления по шагам:
1. Возводим в квадрат каждое из измерений: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $12^2 = 144$.
2. Складываем полученные значения: $9 + 16 + 144 = 25 + 144 = 169$.
3. Извлекаем квадратный корень из суммы: $d = \sqrt{169} = 13$.
Таким образом, длина диагонали составляет 13 см.
Ответ: $d = 13$ см.

в) Сначала выразим ребро $c$ из формулы для квадрата диагонали $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Для этого нужно изолировать слагаемое $c^2$:
$c^2 = d^2 - a^2 - b^2$.
Теперь, чтобы найти $c$, извлечем квадратный корень из правой части уравнения:
$c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}$.
Теперь, используя эту формулу, найдем длину ребра $c$ при заданных значениях: $d = 17$ см, $a = 9$ см, $b = 12$ см.
$c = \sqrt{17^2 - 9^2 - 12^2}$.
Выполним вычисления по шагам:
1. Возводим в квадрат заданные значения: $17^2 = 289$, $9^2 = 81$, $12^2 = 144$.
2. Подставляем квадраты в формулу: $c = \sqrt{289 - 81 - 144}$.
3. Выполняем вычитание под корнем: $c = \sqrt{208 - 144} = \sqrt{64}$.
4. Извлекаем квадратный корень: $c = 8$.
Таким образом, длина ребра $c$ составляет 8 см.
Ответ: $c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}$; $c = 8$ см.