Страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

269 Найдите с помощью калькулятора десятичное приближение числа с двумя знаками после запятой:

a) $\sqrt{2}$;

в) $0,5\sqrt{8}$;

д) $\sqrt{3+\sqrt{3}};$

б) $\sqrt{10};$

г) $\sqrt{0,9\sqrt{2}};$

е) $\sqrt{15-3}$.

а) Для того чтобы найти десятичное приближение числа $\sqrt{2}$ с двумя знаками после запятой, воспользуемся калькулятором.
$\sqrt{2} \approx 1.41421356...$
Округляем до двух знаков после запятой. Для этого смотрим на третью цифру после запятой. Если она 5 или больше, округляем предыдущую цифру вверх, если меньше 5 — оставляем как есть. В данном случае третья цифра — 4, поэтому округляем в меньшую сторону.
$\sqrt{2} \approx 1.41$
Ответ: $1.41$

б) Найдем десятичное приближение числа $\sqrt{10}$ с помощью калькулятора.
$\sqrt{10} \approx 3.16227766...$
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 2, значит, округляем в меньшую сторону.
$\sqrt{10} \approx 3.16$
Ответ: $3.16$

в) Найдем десятичное приближение выражения $0.5\sqrt{8}$.
Сначала вычислим значение $\sqrt{8}$ на калькуляторе:
$\sqrt{8} \approx 2.82842712...$
Теперь умножим это значение на 0.5:
$0.5 \cdot \sqrt{8} \approx 0.5 \cdot 2.82842712... \approx 1.41421356...$
Также можно было упростить выражение: $0.5\sqrt{8} = 0.5\sqrt{4 \cdot 2} = 0.5 \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$. Как мы уже выяснили в пункте а), это примерно $1.41$.
Округляем результат до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой — 4, округляем в меньшую сторону.
$0.5\sqrt{8} \approx 1.41$
Ответ: $1.41$

г) Найдем десятичное приближение выражения $\sqrt{0.9\sqrt{2}}$.
Сначала вычислим значение подкоренного выражения $0.9\sqrt{2}$:
$\sqrt{2} \approx 1.41421356...$
$0.9 \cdot \sqrt{2} \approx 0.9 \cdot 1.41421356... \approx 1.2727922...$
Теперь извлечем квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{1.2727922...} \approx 1.1281809...$
Округляем до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой — 8, поэтому округляем в большую сторону.
$\sqrt{0.9\sqrt{2}} \approx 1.13$
Ответ: $1.13$

д) Найдем десятичное приближение выражения $\sqrt{3+\sqrt{3}}$.
Сначала вычислим значение подкоренного выражения $3+\sqrt{3}$:
$\sqrt{3} \approx 1.7320508...$
$3 + \sqrt{3} \approx 3 + 1.7320508... = 4.7320508...$
Теперь извлечем квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{4.7320508...} \approx 2.1753277...$
Округляем до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой — 5, поэтому округляем в большую сторону.
$\sqrt{3+\sqrt{3}} \approx 2.18$
Ответ: $2.18$

е) Найдем десятичное приближение выражения $\sqrt{\sqrt{15}-3}$.
Сначала вычислим значение подкоренного выражения $\sqrt{15}-3$:
$\sqrt{15} \approx 3.8729833...$
$\sqrt{15} - 3 \approx 3.8729833... - 3 = 0.8729833...$
Теперь извлечем квадратный корень из полученного числа:
$\sqrt{0.8729833...} \approx 0.9343357...$
Округляем до двух знаков после запятой. Третья цифра после запятой — 4, поэтому округляем в меньшую сторону.
$\sqrt{\sqrt{15}-3} \approx 0.93$
Ответ: $0.93$

269 Найдите с помощью калькулятора десятичное приближение числа с двумя знаками после запятой:

а) $\sqrt{2}$ в) $0,5\sqrt{8}$ д) $\sqrt{3+\sqrt{3}}$

б) $\sqrt{10}$ г) $0,9\sqrt{2}$ е) $\sqrt{15-3}$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

270 а) Объём $V$ конуса (рис. 2.12) вычисляется по формуле

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Выразите из этой формулы высоту $H$ и радиус основания $R$.

б) Объём $V$ шарового сектора (рис. 2.13) вычисляется по формуле $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$. Выразите из этой формулы высоту сегмента $h$ и радиус шара $R$.

ИССЛЕДУЕМ

271 Когда вы находите перебором все делители некоторого натурального числа, удобно выписывать пары: делитель и соответствующее частное, которое также

а)

Исходная формула для объема конуса (рис. 2.12): $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $V$ — объем, $R$ — радиус основания, $H$ — высота.

Выразим высоту H:
Для того чтобы выразить $H$, нужно изолировать эту переменную в одной части уравнения.
1. Умножим обе части равенства на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3 \cdot V = 3 \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 H$
$3V = \pi R^2 H$
2. Разделим обе части получившегося уравнения на $\pi R^2$:
$\frac{3V}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 H}{\pi R^2}$
$H = \frac{3V}{\pi R^2}$

Выразим радиус основания R:
Для того чтобы выразить $R$, будем исходить из преобразованного уравнения $3V = \pi R^2 H$.
1. Разделим обе части на $\pi H$, чтобы изолировать $R^2$:
$\frac{3V}{\pi H} = \frac{\pi R^2 H}{\pi H}$
$R^2 = \frac{3V}{\pi H}$
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиус $R$ является геометрической величиной, его значение должно быть положительным, поэтому мы берем только арифметический (положительный) корень:
$R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

Ответ: $H = \frac{3V}{\pi R^2}$; $R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$.

б)

Исходная формула для объема шарового сектора (рис. 2.13): $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$, где $V$ — объем, $R$ — радиус шара, $h$ — высота сегмента.

Выразим высоту сегмента h:
Для того чтобы выразить $h$, выполним следующие преобразования:
1. Умножим обе части равенства на 3:
$3 \cdot V = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi R^2 h$
$3V = 2\pi R^2 h$
2. Разделим обе части на $2\pi R^2$:
$\frac{3V}{2\pi R^2} = \frac{2\pi R^2 h}{2\pi R^2}$
$h = \frac{3V}{2\pi R^2}$

Выразим радиус шара R:
Для того чтобы выразить $R$, будем исходить из уравнения $3V = 2\pi R^2 h$.
1. Разделим обе части на $2\pi h$, чтобы изолировать $R^2$:
$\frac{3V}{2\pi h} = \frac{2\pi R^2 h}{2\pi h}$
$R^2 = \frac{3V}{2\pi h}$
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как радиус шара $R$ — положительная величина, берем арифметический корень:
$R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}$

Ответ: $h = \frac{3V}{2\pi R^2}$; $R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}$.

271 Исследуем

Когда вы находите перебором все делители некоторого натурального числа, удобно выписывать пары: делитель и соответствующее частное, которое также является делителем.

Рис. 2.13

1) Пользуясь этим приёмом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.

2) Приведите пример натурального числа a, делителем которого является число $\sqrt{a}$.

3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа a меньше $\sqrt{a}$, то другой больше $\sqrt{a}$.

4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничиться для нахождения всех делителей числа a? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?

1) Пользуясь этим приёмом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.

Чтобы найти все делители натурального числа, будем перебирать натуральные числа, начиная с 1. Если число является делителем, то записываем его в пару с частным от деления исходного числа на этот делитель. Перебор можно остановить, когда делитель становится больше или равен частному.

Для числа 18:
Начинаем перебор делителей:
- $18 \div 1 = 18$. Пара делителей: (1, 18).
- $18 \div 2 = 9$. Пара делителей: (2, 9).
- $18 \div 3 = 6$. Пара делителей: (3, 6).
- Следующее число 4 не является делителем 18. Следующее число 5 не является делителем 18. Следующий делитель 6 уже есть в паре (3, 6), значит, все делители найдены.

Делители числа 18 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Ответ: Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Для числа 36:
Начинаем перебор делителей:
- $36 \div 1 = 36$. Пара: (1, 36).
- $36 \div 2 = 18$. Пара: (2, 18).
- $36 \div 3 = 12$. Пара: (3, 12).
- $36 \div 4 = 9$. Пара: (4, 9).
- Следующее число 5 не является делителем 36.
- $36 \div 6 = 6$. Пара: (6, 6). Поскольку делитель и частное равны, мы нашли "середину" и можем остановить перебор.

Делители числа 36 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Ответ: Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Для числа 50:
Начинаем перебор делителей:
- $50 \div 1 = 50$. Пара: (1, 50).
- $50 \div 2 = 25$. Пара: (2, 25).
- Числа 3 и 4 не являются делителями 50.
- $50 \div 5 = 10$. Пара: (5, 10).
- Числа 6, 7 не являются делителями 50. Следующий делитель 10 уже есть в паре (5, 10). Перебор завершен.

Делители числа 50 в порядке возрастания: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Ответ: Делители числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

2) Приведите пример натурального числа a, делителем которого является число $\sqrt{a}$.

Чтобы число $\sqrt{a}$ было делителем числа $a$, оно само должно быть натуральным числом. Это возможно только в том случае, если $a$ является полным квадратом некоторого натурального числа.

Пусть $a = k^2$ для некоторого натурального $k$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{k^2} = k$. Нам нужно проверить, является ли $k$ делителем $k^2$. Поскольку $k^2 \div k = k$, и $k$ — натуральное число, то $k$ является делителем $k^2$.

В качестве примера можно взять любое число, являющееся полным квадратом. Например, возьмем число 49.
$a = 49$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{49} = 7$. Число 7 является делителем числа 49, так как $49 \div 7 = 7$.

Ответ: Примером такого числа является 49 (или любой другой полный квадрат, например, 4, 9, 16, 25, 36 и т.д.).

3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа a меньше $\sqrt{a}$, то другой больше $\sqrt{a}$.

Пусть $a$ — натуральное число. Пусть $d_1$ и $d_2$ — пара его делителей, такая что их произведение равно $a$: $$ d_1 \cdot d_2 = a $$

Предположим, что один из делителей, например $d_1$, меньше квадратного корня из $a$: $$ d_1 < \sqrt{a} $$ Так как $d_1$ — натуральный делитель, то $d_1 > 0$.

Выразим второй делитель $d_2$ из первого равенства: $$ d_2 = \frac{a}{d_1} $$

Так как $d_1$ и $\sqrt{a}$ являются положительными числами, мы можем взять обратные величины, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $$ \frac{1}{d_1} > \frac{1}{\sqrt{a}} $$ Умножим обе части этого неравенства на положительное число $a$: $$ a \cdot \frac{1}{d_1} > a \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} $$ $$ \frac{a}{d_1} > \frac{a}{\sqrt{a}} $$

Так как $a = (\sqrt{a})^2$, то $\frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$. А $\frac{a}{d_1} = d_2$.
Подставив эти выражения в неравенство, получаем: $$ d_2 > \sqrt{a} $$ Что и требовалось доказать. Если один делитель $d_1$ меньше $\sqrt{a}$, то парный ему делитель $d_2$ обязательно будет больше $\sqrt{a}$.

Ответ: Доказательство приведено выше.

4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничиться для нахождения всех делителей числа a? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?

Как было доказано в пункте 3, если мы находим делитель $d_1$ числа $a$, который меньше $\sqrt{a}$, то парный ему делитель $d_2 = a/d_1$ будет больше $\sqrt{a}$. Если же делитель равен $\sqrt{a}$ (что возможно, если $a$ - полный квадрат), то и частное будет равно $\sqrt{a}$.
Это означает, что для нахождения всех пар делителей достаточно проверить все натуральные числа от 1 до $\sqrt{a}$ включительно. Каждый раз, когда мы находим делитель в этом диапазоне, мы автоматически находим и его пару. Таким образом, мы найдем все делители.

Следовательно, для нахождения всех делителей числа $a$ достаточно осуществить перебор натуральных чисел от 1 до целой части от $\sqrt{a}$, то есть до $\lfloor\sqrt{a}\rfloor$.

Для числа 144:
Находим квадратный корень из 144: $\sqrt{144} = 12$.
Перебор следует осуществить до 12.

Для числа 238:
Находим квадратный корень из 238. Мы знаем, что $15^2 = 225$ и $16^2 = 256$.
Значит, $15 < \sqrt{238} < 16$. Целая часть от $\sqrt{238}$ равна 15. Перебор следует осуществить до 15.

Ответ: Для нахождения всех делителей числа $a$ можно ограничиться перебором натуральных чисел от 1 до $\sqrt{a}$ (или до его целой части, $\lfloor\sqrt{a}\rfloor$). Для числа 144 перебор следует осуществить до 12, а для числа 238 — до 15.