Номер 271, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.2. Иррациональные числа. Глава 2. Квадратные корни - номер 271, страница 76.

Условие.

271 Исследуем

Когда вы находите перебором все делители некоторого натурального числа, удобно выписывать пары: делитель и соответствующее частное, которое также является делителем.

Рис. 2.13

1) Пользуясь этим приёмом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.

2) Приведите пример натурального числа a, делителем которого является число $\sqrt{a}$.

3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа a меньше $\sqrt{a}$, то другой больше $\sqrt{a}$.

4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничиться для нахождения всех делителей числа a? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Пользуясь этим приёмом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.

Чтобы найти все делители натурального числа, будем перебирать натуральные числа, начиная с 1. Если число является делителем, то записываем его в пару с частным от деления исходного числа на этот делитель. Перебор можно остановить, когда делитель становится больше или равен частному.

Для числа 18:
Начинаем перебор делителей:
- $18 \div 1 = 18$. Пара делителей: (1, 18).
- $18 \div 2 = 9$. Пара делителей: (2, 9).
- $18 \div 3 = 6$. Пара делителей: (3, 6).
- Следующее число 4 не является делителем 18. Следующее число 5 не является делителем 18. Следующий делитель 6 уже есть в паре (3, 6), значит, все делители найдены.

Делители числа 18 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Ответ: Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Для числа 36:
Начинаем перебор делителей:
- $36 \div 1 = 36$. Пара: (1, 36).
- $36 \div 2 = 18$. Пара: (2, 18).
- $36 \div 3 = 12$. Пара: (3, 12).
- $36 \div 4 = 9$. Пара: (4, 9).
- Следующее число 5 не является делителем 36.
- $36 \div 6 = 6$. Пара: (6, 6). Поскольку делитель и частное равны, мы нашли "середину" и можем остановить перебор.

Делители числа 36 в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Ответ: Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Для числа 50:
Начинаем перебор делителей:
- $50 \div 1 = 50$. Пара: (1, 50).
- $50 \div 2 = 25$. Пара: (2, 25).
- Числа 3 и 4 не являются делителями 50.
- $50 \div 5 = 10$. Пара: (5, 10).
- Числа 6, 7 не являются делителями 50. Следующий делитель 10 уже есть в паре (5, 10). Перебор завершен.

Делители числа 50 в порядке возрастания: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Ответ: Делители числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

2) Приведите пример натурального числа a, делителем которого является число $\sqrt{a}$.

Чтобы число $\sqrt{a}$ было делителем числа $a$, оно само должно быть натуральным числом. Это возможно только в том случае, если $a$ является полным квадратом некоторого натурального числа.

Пусть $a = k^2$ для некоторого натурального $k$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{k^2} = k$. Нам нужно проверить, является ли $k$ делителем $k^2$. Поскольку $k^2 \div k = k$, и $k$ — натуральное число, то $k$ является делителем $k^2$.

В качестве примера можно взять любое число, являющееся полным квадратом. Например, возьмем число 49.
$a = 49$. Тогда $\sqrt{a} = \sqrt{49} = 7$. Число 7 является делителем числа 49, так как $49 \div 7 = 7$.

Ответ: Примером такого числа является 49 (или любой другой полный квадрат, например, 4, 9, 16, 25, 36 и т.д.).

3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа a меньше $\sqrt{a}$, то другой больше $\sqrt{a}$.

Пусть $a$ — натуральное число. Пусть $d_1$ и $d_2$ — пара его делителей, такая что их произведение равно $a$: $$ d_1 \cdot d_2 = a $$

Предположим, что один из делителей, например $d_1$, меньше квадратного корня из $a$: $$ d_1 < \sqrt{a} $$ Так как $d_1$ — натуральный делитель, то $d_1 > 0$.

Выразим второй делитель $d_2$ из первого равенства: $$ d_2 = \frac{a}{d_1} $$

Так как $d_1$ и $\sqrt{a}$ являются положительными числами, мы можем взять обратные величины, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $$ \frac{1}{d_1} > \frac{1}{\sqrt{a}} $$ Умножим обе части этого неравенства на положительное число $a$: $$ a \cdot \frac{1}{d_1} > a \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} $$ $$ \frac{a}{d_1} > \frac{a}{\sqrt{a}} $$

Так как $a = (\sqrt{a})^2$, то $\frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$. А $\frac{a}{d_1} = d_2$.
Подставив эти выражения в неравенство, получаем: $$ d_2 > \sqrt{a} $$ Что и требовалось доказать. Если один делитель $d_1$ меньше $\sqrt{a}$, то парный ему делитель $d_2$ обязательно будет больше $\sqrt{a}$.

Ответ: Доказательство приведено выше.

4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничиться для нахождения всех делителей числа a? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?

Как было доказано в пункте 3, если мы находим делитель $d_1$ числа $a$, который меньше $\sqrt{a}$, то парный ему делитель $d_2 = a/d_1$ будет больше $\sqrt{a}$. Если же делитель равен $\sqrt{a}$ (что возможно, если $a$ - полный квадрат), то и частное будет равно $\sqrt{a}$.
Это означает, что для нахождения всех пар делителей достаточно проверить все натуральные числа от 1 до $\sqrt{a}$ включительно. Каждый раз, когда мы находим делитель в этом диапазоне, мы автоматически находим и его пару. Таким образом, мы найдем все делители.

Следовательно, для нахождения всех делителей числа $a$ достаточно осуществить перебор натуральных чисел от 1 до целой части от $\sqrt{a}$, то есть до $\lfloor\sqrt{a}\rfloor$.

Для числа 144:
Находим квадратный корень из 144: $\sqrt{144} = 12$.
Перебор следует осуществить до 12.

Для числа 238:
Находим квадратный корень из 238. Мы знаем, что $15^2 = 225$ и $16^2 = 256$.
Значит, $15 < \sqrt{238} < 16$. Целая часть от $\sqrt{238}$ равна 15. Перебор следует осуществить до 15.

Ответ: Для нахождения всех делителей числа $a$ можно ограничиться перебором натуральных чисел от 1 до $\sqrt{a}$ (или до его целой части, $\lfloor\sqrt{a}\rfloor$). Для числа 144 перебор следует осуществить до 12, а для числа 238 — до 15.